ฝึกอินทิเกรตกัน

[เดานิดนึง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ช่วยแสดงวิธีทำข้อนี้หน่อยครับ
$$\int e^{3x}x^2 \sin x dx$$
ขอบคุณครับ

จากที่ดูๆนะครับ ด้วยความรู้ที่ติดตัวมานิดหน่อย อิอิ ^^

การ $$\int e^{3x}x^2 \sin x dx$$

วิธีทำน่าจะยาวมากครับ คิดว่าต้องใช้ by part

โดย กำหนด u = x^2 และ dv = {e^(3x)}{sinx}dx

มันจะ by part 2 รอบหลักๆ เพราะมีพจน์ x^2 คูณ

แต่ข้อนี้ dv ดันมีค่า = {e^(3x)}{sinx}dx อันนี้ก็ต้อง by part อีก 2 รอบครับ

กว่าจะได้ค่า v

รวมๆแล้ว ทึกมาครับ - -

แต่คิดว่าทำได้มีคำตอบด้วย คำตอบยาวมากครับ ต้องทำหลายหน้าแน่ครับ

สู้นะครับ ^^

ใครมีวิธีสั้นกว่านี้บอกด้วยนะ ^^ ไปดีกว่า!!!!

[Ne[S]zA]

เนื่องจากกระทู้เงียบขอปลุกหน่อยนะครับ
สมาคมปี 48
$$\int_0^2 (\sqrt{x^3+1}+\sqrt[3]{x^2+2x}) dx$$
จงหาค่าของ
$$\int_0^1 \int_0^{x^2} e^{\frac{y}{x}} dydx$$
$$\int \dfrac{x^4+1}{x^3-x} dx$$

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

จงหาค่าของ
$$\int \dfrac{x^4+1}{x^3-x} dx$$

Solution:

\[
\int {\frac{{x^4 + 1}}{{x^3 - x}}} dx = \int {\left( {x - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \frac{{x^2 }}{2} + \ln \left| {\frac{{x^2 - 1}}{x}} \right| + c
\]

ปล.ช่วงนี้ไม่ค่อยว่างเลยครับ

[Ne[S]zA]

ถูกครับผมม
ขอวิธีทำข้อแรกหน่อยนะครับถ้าว่างนะครับ

[kheerae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

เนื่องจากกระทู้เงียบขอปลุกหน่อยนะครับ
จงหาค่าของ
$$\int_0^1 \int_0^{x^2} e^{\frac{y}{x}} dydx$$

งั้นผมขอทำข้อ 2

$$\int_0^1 \int_0^{x^2} e^{\frac{y}{x}} dydx = \frac{1}{2}$$

Sol

$u = \frac{y}{x}$
$xdu = dy$
$$\int_0^1 \int_0^{x^2} e^{\frac{y}{x}} dydx = \int_0^1 x\left(\, \int_0^{x^2} e^{u} du\right) dx$$
$$\int_0^1 \int_0^{x^2} e^{\frac{y}{x}} dydx = \int_0^1 x\left(\, e^{\frac{y}{x}}\right)_0^{x^2} dx$$
$$\int_0^1 \int_0^{x^2} e^{\frac{y}{x}} dydx = \int_0^1 x\left(\, e^{x}-1\right) dx$$
$$\int_0^1 \int_0^{x^2} e^{\frac{y}{x}} dydx = \left(\, xe^{x}-e^{x}-\frac{x^2}{2}\right)_0^1 $$
$$\int_0^1 \int_0^{x^2} e^{\frac{y}{x}} dydx = \frac{1}{2}$$

[Ne[S]zA]

ถูกครับ โทษทีครับที่ไม่ได้เข้ามาดู ขอเฉลยข้อแรกหน่อยครับ ของสมาคมอ่าครับ ขอบคุณครับ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kheerae

$$\int_0^1 \int_0^{x^2} e^{\frac{y}{x}} dydx = \int_0^1 x\left(\, \int_0^{x^2} e^{u} du\right) dx$$
[/hidden]

ขอ comment นิดนึงนะครับ ตรงนี้ควรเขียนเป็น
\[
\int\limits_0^1 {\int\limits_0^{x^2 } {e^{\frac{y}{x}} dydx = \int\limits_0^1 {\int\limits_0^{x^2 } {xe^{\frac{y}{x}} d\left( {\frac{y}{x}} \right)dx} } } }
\]
เพราะ เวลาเราแทนค่า u นั้นเราจะต้องเปลี่ยนขอบเขตของการอินทิเกรตใหม่ด้วยครับ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

เนื่องจากกระทู้เงียบขอปลุกหน่อยนะครับ
สมาคมปี 48
$$\int_0^2 (\sqrt{x^3+1}+\sqrt[3]{x^2+2x}) dx$$

ข้อนี้ค่อนข้างจะยุ่งยากสักหน่อยครับ คำตอบ คือ 6 ครับ

[Ne[S]zA]

Evaluate
$$\int \dfrac{x^2e^{arctan x}}{\sqrt{1+x^2}} dx$$
ช่วยหน่อยครับ

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

Evaluate
$$\int \dfrac{x^2e^{arctan x}}{\sqrt{1+x^2}} dx$$
ช่วยหน่อยครับ

พยายาม by part อย่างบ้าคลั่ง ก็ไม่ออก

ลองใช้โปรแกรมดูได้

$$\int \dfrac{x^2e^{arctan x}}{\sqrt{1+x^2}} dx = \dfrac{(x^3-x^2+x-1)e^{tan^{-1}{x}}}{2\sqrt{1+x^2}}$$

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

Evaluate
$$\int \dfrac{x^2e^{arctan x}}{\sqrt{1+x^2}} dx$$
ช่วยหน่อยครับ

\[
\int {\frac{{x^2 e^{\arctan x} }}{{\sqrt {1 + x^2 } }}dx = x} \sqrt {1 + x^2 } e^{\arctan x} - \int {\left( {\frac{{xe^{\arctan x} }}{{\sqrt {1 + x^2 } }} + \sqrt {1 + x^2 } e^{\arctan x} } \right)dx}
\]
\[
= x\sqrt {1 + x^2 } e^{\arctan x} - \left( {\sqrt {1 + x^2 } e^{\arctan x} - \int {\frac{{e^{\arctan x} }}{{\sqrt {1 + x^2 } }}dx} } \right) - \int {\sqrt {1 + x^2 } e^{\arctan x} dx}
\]
\[
= x\sqrt {1 + x^2 } e^{\arctan x} - \sqrt {1 + x^2 } e^{\arctan x} + \int {\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + x^2 } }} - \sqrt {1 + x^2 } } \right)} e^{\arctan x} dx
\]
\[
= x\sqrt {1 + x^2 } e^{\arctan x} - \sqrt {1 + x^2 } e^{\arctan x} - \int {\frac{{x^2 e^{\arctan x} }}{{\sqrt {1 + x^2 } }}dx}
\]
\[
= \frac{1}{2}\left( {x\sqrt {1 + x^2 } - \sqrt {1 + x^2 } } \right)e^{\arctan x} + c = \frac{{\left( {x^3 - x^2 + x - 1} \right)e^{\arctan x} }}{{2\sqrt {1 + x^2 } }} + c
\]

[Ne[S]zA]

ขอบคุณทั้งคู่ครับ ดูแล้วซึ้งเลย TT

[-InnoXenT-]

ได้แล้วครับ ขอโทษที - -a

ขออนุญาตโพสท์โจทย์เพิ่มนะครับ ^^"

Evaluate the integral

$$\int \dfrac{\sqrt{\sqrt{x^4+1}-x^2}}{x^4+1}\,dx $$

[Little Penguin]

ผมลองใช้โปรแกรมคำนวณ มันไม่ยอมหาออกมาให้ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

ได้แล้วครับ ขอโทษที - -a

ขออนุญาตโพสท์โจทย์เพิ่มนะครับ ^^"

Evaluate the integral

$$\int \dfrac{\sqrt{\sqrt{x^4+1}-x^2}}{x^4+1}\,dx $$

ข้อนี้ใส่เข้าน้องเปิ้ลถึงกับร้องไห้งอแงไม่ยอมคำนวณให้ซะงั้น

ก็เลยต้องออกแรงเองได้คำตอบสวยๆออกมาแบบนี้

$$\int \dfrac{\sqrt{\sqrt{x^4+1}-x^2}}{x^4+1}\,dx =\ln{\Big(x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}\Big)}-\dfrac{1}{4}\ln{(x^4+1)}+C$$

สำหรับวิธีคิดก็เริ่มจากให้

$u=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+1}}$

แล้วจะไปจบที่

$\displaystyle{\int\dfrac{1}{\sqrt{4u^2+4u}}\,du}$

ซึ่งก็เหลือแค่ใช้ trig-sub อีกรอบก็จะได้คำตอบครับ