ขอความช่วยเหลือหน่อย

[astro29]

$(\sqrt{(10+\sqrt{99})})^x + (\sqrt{(10-\sqrt{99})})^x= 20$

จงหาผลบวกของรากสมการ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ astro29

$(\sqrt{(10+\sqrt{99})})^x + (\sqrt{(10-\sqrt{99})})^x= 20$

จงหาผลบวกของรากสมการ

ตอบ 4 หรือเปล่าครับ

(รากสมการ )= {2, 2}

[กิตติ]

คิดได้2เท่ากันเลยครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ตอบ 4 หรือเปล่าครับ

(รากสมการ )= {2, 2}

ไม่ถูกครับที่ถูกต้องตอบ 0

[Siren-Of-Step]

ขอวิธีคิดหน่อยครับ

[หยินหยาง]

ไม่มีวิธีคิดเห็นแล้วตอบเลย

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ astro29

$(\sqrt{(10+\sqrt{99})})^x + (\sqrt{(10-\sqrt{99})})^x= 20$
จงหาผลบวกของรากสมการ

คิดแบบนี้ได้ไหมครับ
$(\sqrt{(10+\sqrt{99})})^x + (\sqrt{(10-\sqrt{99})})^x= 20$
ยกกำลังสองทั้งสองข้างก่อน
$[(\sqrt{(10+\sqrt{99})})^x ]^2+ [(\sqrt{(10-\sqrt{99})})^x]^2 +2\times(\sqrt{(10+\sqrt{99})})^x \times(\sqrt{(10-\sqrt{99})})^x = 20^2$
จาก $(a^m)^n =(a^n)^m$ $a^n \times b^n =(ab)^n$
$[(\sqrt{(10+\sqrt{99})})^2 ]^x+ [(\sqrt{(10-\sqrt{99})})^2]^x +2\times[(\sqrt{(10+\sqrt{99})} \times(\sqrt{(10-\sqrt{99})}]^x = 20^2$
$\sqrt{(10+\sqrt{99})} \times\sqrt{(10-\sqrt{99})}= 1$
$(\sqrt{(10+\sqrt{99})})^2 =10+\sqrt{99}$
$(\sqrt{(10-\sqrt{99})})^2 =10-\sqrt{99}$
แทนค่าลงไป
$(10+\sqrt{99})^x +(10-\sqrt{99})^x =20^2 -2$
ให้$10+\sqrt{99} =A$และ$10-\sqrt{99}=B$
$A\times B = 1$ และ$A+B = 20$
$A^x + B^x=(A+B)^2-2 = A^2+B^2 +2AB -2 = A^2+B^2$
ดังนั้นจากการเทียบตัวแปร จะได้ค่า$x=2$
ไม่รู้ว่าตรงไหนที่สรุปผิดบ้าง

[หยินหยาง]

ผมขออนุญาตไม่ตรวจนะครับ เพราะกำลังเล่นเกมส์อยู่ ถ้ารอไหวมีเวลาจะมาดูให้ครับ แต่คิดว่าเดี๋ยวก็คงมีคนมาบอกมั้งครับ ผมให้แนวคิดที่บอกว่าเห็นปุ๊บแล้วตอบเลยก่อนครับ โจทย์ข้อนี้ใช้ประโยชน์จาก

$\sqrt{(10+\sqrt{99})} = \frac{1}{ \sqrt{(10-\sqrt{99})}}$

และจัดให้อยู่ในรูปของ $A^x+\frac{1}{A^x} =c$
ถ้า $a$ เป็นคำตอบของสมการแล้วจะมี $-a$ เป็นคำตอบของสมการด้วย

[bakured]

$\sqrt{a\pm 2\sqrt{b} }=\sqrt{c}\pm \sqrt{d}$โดยที่d=a*bและc=a+b
$\sqrt{10\pm \sqrt{99} }=\sqrt{10+2\sqrt{99/4} }$= $\sqrt{11/2}\pm \sqrt{9/2}$
แปลงแบบนี้แล้วทำต่อจะง่ายกว่าไหมครับคุณกิตติ

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับ..ทั้งสองท่านได้ไอเดียแล้วครับ
สำหรับไอเดียของคุณหยินหยาง ทำให้เกิดอีกสมการหนึ่งคือ
$(\frac{1}{\sqrt{10+\sqrt{99} } })^x + (\frac{1}{\sqrt{10-\sqrt{99} } })^x =20$
$(\sqrt{10+\sqrt{99} })^{-x}+(\sqrt{10-\sqrt{99} })^{-x} = 20$
สมการนี้แก้ได้ค่า$x= -2$
ถ้าลองแก้สมการที่คุณหยินหยางบอกไว้
$A^{2x}+1 = 20A^x \rightarrow A^{2x}- 20A^x+1=0$
$A^x = \frac{20\pm \sqrt{20^2-4}}{2} = 10\pm \sqrt{99} $
ถ้า$A^x =\sqrt{10+\sqrt{99}}$ $\rightarrow (\sqrt{10+\sqrt{99}})^x= 10+\sqrt{99}$
$(\sqrt{10+\sqrt{99}})^x= 10-\sqrt{99}$
ค่าของ$x$คือ$2,-2$

[Siren-Of-Step]

ตกลง ใครถูกใครผิดอะครับ

[หยินหยาง]

#11
วันนี้ไม่ติดกิจธุระอันไรมาตอบให้กระจ่างสำหรับคนคุ้นเคยให้ครับ ลองกลับไปอ่านทีผมเขียนไว้อีกทีจะเข้าใจ คือผมบอกว่าข้อนี้ผมไม่เสียเวลาคิดเพราะผมเห็นปุ๊บผมรู้ว่าอยู่ในรูปที่ว่าตามความเห็นที่ 8 และรู้ว่ามีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง จึงตอบว่า 0 เพราะไม่ว่าจะหารากของคำตอบออกมาเป็นเท่าไรก็จะมี นิเสธของมันเป็นคำตอบด้วย แต่ถ้าอยากรู้ว่ามีค่าอะไรบ้าง ก็แก้สมการเอาโดยใช้รูปแบบที่ผมจัดไว้ให้ก็จะได้ 2 ค่าเหมือนกัน คือ 2 กับ -2
โจทย์จ้อนี้มีคนเอามาถามหลายครั้งแล้ว ผมรู้สึกเคยเฉลยไปแล้วด้วย

#7

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

....
....
$(\sqrt{(10-\sqrt{99})})^2 =10-\sqrt{99}$
แทนค่าลงไป
$(10+\sqrt{99})^x +(10-\sqrt{99})^x =20^2 -2$
ให้$10+\sqrt{99} =A$และ$10-\sqrt{99}=B$
$A\times B = 1$ และ$A+B = 20$
$A^x + B^x=(A+B)^2-2 = A^2+B^2 +2AB -2 = A^2+B^2$
ดังนั้นจากการเทียบตัวแปร จะได้ค่า$x=2$
ไม่รู้ว่าตรงไหนที่สรุปผิดบ้าง

สรุปไม่ผิดครับเพียงแต่ว่าการทำโดยวิธีนี้คำตอบที่ได้อาจไม่ครบ ถ้าจะทำได้ก็ต้องรู้ซะก่อนว่ามันเป็นฟังก์ชั่น 1:1 คือมี x เพียงค่าเดียวที่ส่งไปยัง y
อย่าลืมนะครับว่า A กับ B เป็นส่วนกลับซึ่งกันและกันอยู่

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณหยินหยาง....ช่วยเพิ่มความกระจ่างให้ครับ

[ไซโคลน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ astro29

$(\sqrt{(10+\sqrt{99})})^x + (\sqrt{(10-\sqrt{99})})^x= 20$
จงหาผลบวกของรากสมการ

ผลบวกของราก คือ 0 ครับ
ให้$(\sqrt{(10+\sqrt{99})})^x=k$ จึงได้$(\sqrt{(10-\sqrt{99})})^x=\frac{1}{k}$ (จากการคอนจูเกต)
แทนค่า;$k^x+(\frac{1}{k})^x=20$ ต่อมา;$k^y-20k^x+1=0$(y=2x พิมพ์ยกกำลัง2xไม่ได้) ใช้สูตรได้$k^x=10\pm3\sqrt{11}$ ซึ่ง $3\sqrt{11}=\sqrt{99}$ จึงกลายเป็น $k^x=10+\sqrt{99}$ กับ$k^x=10-\sqrt{99}$
แทนค่าk $(\sqrt{(10+\sqrt{99})})^x=10+\sqrt{99}$ กับ $(\sqrt{(10+\sqrt{99})})^x=10-\sqrt{99}$ จึงได้x=$2,-2$ เพราะฉะนั้นผลบวกของรากสมการคือ $2-2=0$

[~พัดคุง~]

ว้าว เเต่ละคน สุดยอด