ตัวเลขมหัศจรรย์

เป็นไปได้หรือไม่ที่มีจำนวนเต็มบวก 3 จำนวนที่ไม่ใช่ 1 แล้วมีคุณสมบัติว่าเมื่อนำจำนวนใดๆในกลุ่มมายกกำลังสองแล้วลบด้วย 1 จะถูกหารด้วยจำนวนสองตัวที่เหลือลงตัว

คิดว่าพิสูจน์ไม่ถูกหรอก เพราะที่เขียนมาก็ดูแล้วชอบกล
แต่อยากฟังข้อแย้งดู จะได้คิดใหม่หรือปรับปรุง หรืออาจเป็นแนวทางให้คนอื่น

สมมุติ 3 จำนวนนั้นคือ a b c
โดยไม่เสียนัย ให้a < b < c

เนื่องจาก (a^2 - 1) / b ลงตัว ดังนั้น
ิb สามารถเขียนได้ในรูปของ
1. b = (a-1)/ k1; k1=1,2,3,4... หรือ
2. b = (a+1) / k2 ; k2=1,2,3,4,... หรือ
3. b = (a^2-1) / k3 ; k3=1,2,3,4...
กรณี 1>
ิb = (a-1 ) / k1
เนื่องจาก b> a จะเห็นได้ชัดเว่าไม่สามารถหา k1 ที่ทำให้
ิb > a ได้ ดังนั้น b ที่เขียนในรูปของกรณีนี้ ไม่มี

กรณี 2>
b = (a+1)/ k2
เนื่องจาก b > a พอแก้สมการแล้วพบว่าค่า k2 ที่ยังทำให้ b > a นี้เป็นจริง คือ k2=1
นั่นคือ b สามารถเขียนในรูปของ b = a+1 เท่านั้น
และยังทำให้ (a^2- 1) / b ลงตัว และ (b^2-1) / a ลงตัวด้วย
ดังนั้นในกรณีนี้ b สามารถหาค่าได้ โดย b = a+1

กรณี 3>
b = (a^2 -1)/ k .....1
จะหาค่า k ที่ทำให้ (b^2-1) /a (กรณีกลับกันไม่ต้องเพราะ (a^2-1)/b ลงตัวอยู่แล้ว )

(b^2-1)/a = ( a^4 - 2a^2 +1 -k^2 ) / (ak^2)
ซึ่งสมการข้างต้นจะได้ว่า (k^2 -1)/ a ลงตัว......2
จาก (1), (2) จะพบว่าถ้า a เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว , k ที่ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริง
มีเพียง k = 1 เท่านั้น
จึงได้ว่า b = a^2 -1 สอดคล้องกับกรณีนี้

ดังนั้น คู่ a b อาจเขียนได้ในรูปของ
a a+1
a a^2-1

ทำเช่นเดียวกันกับคู่ b c , a c
จะได้ว่า b c ที่อาจเป็นไปได้สามารถเขียนได้ในรูปของ a+1 ,a+2, a^2-1, a^2 , (a+1)^2-1 , (a^2-1)^2-1
โดยเอามาเรียงสลับกันไปมา เช่น
a a+1 a+2 , a a+1 (a+1)^2-1 , a a^2-1 a^2 , a a^2-1 (a^2-1)^-1 เป็นต้น
ลองแก้สมการดูพบว่า มี a เพียงค่าเดียวที่ทำให้ ทั้ง 3 ตัวสอดคล้องกับโจทย์คือ a =1
แต่โจทย์บอกว่า ห้ามตัวใดตัวหนึ่ง เท่ากับ 1
ดังนั้น ไม่มีจำนวน 3 ตัวดังกล่าว