ข้อสอบสมาคมฯ ม.ปลาย 2554

[Real Matrik]

Solution 31.

พิจารณาค่าของ $\sqrt{a_{2n-1}+a_{2n+1}}$
$$a_{2n-1}+a_{2n+1}=2+\frac{8}{(2n-1)^2}+\frac{8}{(2n+1)^2}=\frac{2(4n^2+3)^2}{(2n-1)^2(2n+1)^2}$$
$$\sqrt{a_{2n-1}+a_{2n+1}}=\sqrt{2}[\frac{4n^2+3}{4n^2-1}]$$
$$=\sqrt{2}[1+\frac{4}{(2n-1)(2n+1)}]$$
$$=\sqrt{2}[1+2(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})]$$
จะได้ว่า
$$\sum_{n = 1}^{98}\sqrt{a_{2n-1}+a_{2n+1}}=\sqrt{2}[98+2(1-\frac{1}{197})]$$
$$100\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{197}$$
สังเกตว่า $\sqrt{2}\approx1.414$
ทำให้ได้ว่า $100\sqrt{2}\approx141.4$ และ $\frac{2\sqrt{2}}{197}<0.4$
ดังนั้น จำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดที่สอดคล้องคือ $141$

[Real Matrik]

Solution 24.

กำหนดให้ $r=|z_1|=|z_2|$
พิจารณา ค่าของ
$$z_1-z_2=a+i$$
$$\frac{z_1\overline{z_1}}{\overline{z_1}}-\frac{z_2\overline{z_2}}{\overline{z_2}}=\frac{r^2}{\overline{z_1}}-\frac{r^2}{\overline{z_2}}=a+i$$
$$\frac{r^2}{\overline{z_1}\overline{z_2}}(\overline{z_2}-\overline{z_1})=-\frac{r^2}{\overline{z_1z_2}}(\overline{z_1-z_2})=-\frac{r^2}{\overline{z_1z_2}}(a-i)=a+i$$
$$-\frac{r^2}{\overline{z_1z_2}}\cdot\frac{z_1z_2}{z_1z_2}=-\frac{z_1z_2}{r^2}=\frac{a+i}{a-i}$$
$$\frac{z_1z_2}{|z_1||z_2|}=-\frac{a+i}{a-i}$$

[PP_nine]

ขอเปิดประเด็นอสมการหน่อยละกัน (สำหรับคนที่ไม่ได้เข้าค่าย สอวน)

ข้อ 19 จงหาเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่ทำให้อสมการ
$$2\log _x \Big(\frac{a+b}{2}\Big) \le \log _x a + \log _x b$$
เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริงบวก $a,b$

Solution

อสมการสมมูลกับ $$\frac{1}{\log x} \log \Big(\frac{a+b}{2}\Big) \le \frac{1}{\log x}\log (\sqrt{ab})$$
แต่สำหรับจำนวนจริงบวก $a,b$ เรามี $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ สมมูลกับ $a+b \ge 2\sqrt{ab}$

ดังนั้นค่า $x$ ที่ทำให้อสมการเป็นจริงก็คือค่า $x$ ที่ทำให้ $\log x$ ติดลบ เพื่อที่อสมการจะได้กลับข้าง

$\therefore x \in (0,1)$

[Real Matrik]

อีกลิ้งค์นึงของข้อสอบครับ ของคุณ PP_nine ผมไปทำให้เหลือ 6 หน้า Click !!

[C H O]

ผมเปิดในหนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ของ สสวท. หน้าที่ 103
จากนิยามของจำนวนเฉพาะในหน้านั้นจะได้ว่าจำนวนเฉพาะทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็มบวกครับ

[C H O]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

Solution 28.

หรือ $p=19,31,-101$ (จำนวนเฉพาะเป็นลบได้อ้างอิงจากตำรา สอวน. $p\in P\rightarrow -p\in P$)

ถ้าอ่านในตำรานั้นต่อไปอีกสักนิดหนึ่ง จะเจอ "ข้อตกลง" ที่ว่า "เราอาจกล่าวถึงจำนวนเฉพาะที่เป็นบวกเท่านั้น"

ผมว่าเรื่องนี้มันไม่ค่อยชัดเจนนะครับ

[Persister]

สำหรับข้อที่ 28 a<b<c นิยามความเป็นบวก-ลบ ของจำนวนเฉพาะอาจเป็นบวกหรือลบก็ได้ ข้อนี้จึงกำกวม แต่ผมตอบ 11 และ -121 เท่านั้น

[จูกัดเหลียง]

#31 ถ้าคิดอย่างนี้อ่ะครับ(มันก็เยอะกว่าไม่ใช่เหรอ)
$$\sqrt{a_{2n-1}+a_{2n+1}}=\sqrt{2+8\Big(\frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)}>\sqrt{6}$$
$$\rightarrow \sum_{n=1}^{98} \sqrt{a_{2n-1}+a_{2n+1}}>98\sqrt{6}>235$$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 25 ครับ

โดยไม่เสียนัยให้ค่าเฉลี่ยของ $x_1,x_2,x_3,...,x_{20}$ เป็น $\bar x $ และของ $y_1,y_2,...,y_{30}$ เป็น $\bar x+10$

จากสูตรความแปรปรวนของแต่ละข้อมูลจะได้ว่า $\sum_{i = 1}^{20} x_i^2=180+20\bar x$

และ $\sum_{i = 1}^{30} y_i^2=780+30\bar x$

$\therefore$ ผมรวมกำลังสองของข้อมูล 50 ตัว คือ $960+50\bar x$ และค่าเฉลี่ยทั้งหมดคือ $\bar x+\frac{3}{5}$

$\therefore$ ความแปรปรวนรวมจึงเท่ากับ $$\frac{960+50\bar x}{50}-\bar x-\frac{3}{5}=\frac{93}{5}$$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Persister

ใช้สูตรผิดรึเปล่าอ่า ความแปรปรวนเท่ากับ \frac{$\sum_{i = 1}^{n} x_i^2}{n}-\bar x$^2

ถูกแล้วครับ

[Persister]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 25 ครับ

โดยไม่เสียนัยให้ค่าเฉลี่ยของ $x_1,x_2,x_3,...,x_{20}$ เป็น $\bar x $ และของ $y_1,y_2,...,y_{30}$ เป็น $\bar x+10$

จากสูตรความแปรปรวนของแต่ละข้อมูลจะได้ว่า $\sum_{i = 1}^{20} x_i^2=180+20\bar x$

และ $\sum_{i = 1}^{30} y_i^2=780+30\bar x$

$\therefore$ ผมรวมกำลังสองของข้อมูล 50 ตัว คือ $960+50\bar x$ และค่าเฉลี่ยทั้งหมดคือ $\bar x+\frac{3}{5}$

$\therefore$ ความแปรปรวนรวมจึงเท่ากับ $$\frac{960+50\bar x}{50}-\bar x-\frac{3}{5}=\frac{93}{5}$$

ใช้สูตรผิดรึเปล่าอ่า ลองดูที่

PHP Code:

http://en.wikipedia.org/wiki/Variance 


[~ArT_Ty~]

ผิดตรงกำลังสองเหรอครับ?

[passer-by]

เฉพาะบางข้อที่ผมสนใจครับ (ไม่ได้เรียงลำดับข้อ)

[~ArT_Ty~]

ขอเฉลยข้อ 32 หน่อยครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#31 ถ้าคิดอย่างนี้อ่ะครับ(มันก็เยอะกว่าไม่ใช่เหรอ)
$$\sqrt{a_{2n-1}+a_{2n+1}}=\sqrt{2+8\Big(\frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)}>\sqrt{6}$$
$$\rightarrow \sum_{n=1}^{98} \sqrt{a_{2n-1}+a_{2n+1}}>98\sqrt{6}>235$$

อสมการไม่จริงนี่ครับ ลองจัดรูปดีๆ