Calculus 2

[จูกัดเหลียง]

วันนี้ผมเพิ่งเรียน เเคล 2 วันเเรกครับเเละก็มีที่ตะขิดตะขวงใจนิดหน่อยครับที่ว่า คำตอบของสมการอนุพันธ์อันดับ 2 ในฟอร์ม
$ay''+by'+cy=0$ โดยที่ $b^2-4ac<0$ โดยคำตอบอย่าง่าย 2 คำตอบของเราคือ $y_1=e^{r_1x}$ เเละ $y_2=e^{r_2x}$ โดย $r_1,r_2=\alpha\pm i\beta$ ที่สอดคล้องกับสมการ $ar^2+br+c=0$ เเล้วเราได้ว่าคำตอบทั่วไปของสมการคือ $y(x)=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x)$
คือผมสงสัยว่าทำไมค่า $i$ ที่ควรจะติดอยู่กับพจน์หลังถึงยุบรวมเป็นค่าคงที่ได้อ่ะครับ เเล้วก็ ดิฟ $i$ ได้อะไรผมยังไม่รู้เลยครับ เลยไม่เเน่ใจว่าเราจะสรุปได้จริงหรือเปล่า

[nooonuii]

เพราะว่า $r_1\neq r_2$ เข้ากรณีรากไม่ซ้ำ จึงได้

$y = d_1e^{(\alpha+\beta i)x}+d_2e^{(\alpha-\beta i)x}$

$y = d_1e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x)+d_2e^{\alpha x}(\cos\beta x - i\sin\beta x)$

$y = (d_1+d_2)e^{\alpha x}\cos\beta x +(d_1i-d_2i)e^{\alpha x}\sin\beta x$

$y = e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x)$

หมายเหตุ $e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$

[จูกัดเหลียง]

ตรงนี้ผมเข้าใจอยู่เเล้วครับ เเต่ผมงงที่ว่าทำไม $i$ เอาไปยัดเปนค่าคงที่ได้เท่านั้นเองครับ

[nooonuii]

$i$ เป็นค่าคงที่มั้ยล่ะครับ