โจทย์เมทริกซ์ ยากจริงๆ ขอแบบเทพๆช่วยเข้ามาคิดหน่อย

[excutive]

ให้ A,Bเป็นเมทริกซ์ A^3=b^3 และ (A^2)B=A(B^2) จงหา det (A^2 + B^2)

[gnopy]

ข้อมูลที่ให้มาเพียงพอหรือปล่าวครับ

[bell18]

ต้องกำหนดขนาดของเมทริกซ์ กับกำหนดว่า A, B เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานก่อนนะครับ จึงจะคิดได้

[gnopy]

แล้วคิดได้เท่าไหร่หละครับคุณ bell มันต้องกำหนดค่า detA = อะไรสักอย่างมามั้ย

[-InnoXenT-]

ผมลองคิดดูเล่นๆว่า ถ้าลองกำหนดเป็น เมตริกซ์ศูนย์ ก็โอเคนะ

จะกลายเป็น $det(A^2+B^2) = 0$

[gnopy]

เหอๆผมก็คิดได้ 0 เหมือนกัน แต่ไม่แน่ใจคำตอบ เพราะข้อมูลไม่เพียงพอแต่ต้นแหละครับ ขนาดเมตริกซ์ก็ไม่ไ้ด้กำหนดมาให้

[excutive]

เออ คือว่าโจทย์กำหนดมาแค่นี้อะครับ ถ้าอยากได้มิติของเมทริกซ์ งั้นผมสมมติให้เป็นมิติ n\times n แล้วถ้าเป็นเมทริกซ์ไม่เอฐาน จะคิดยังไงต่ออะครับ แล้วถ้า A, B ไม่เอกฐานแล้ว A-B จะไม่เอกฐานด้วยเหรอครับ

[gnopy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ excutive

เออ คือว่าโจทย์กำหนดมาแค่นี้อะครับ ถ้าอยากได้มิติของเมทริกซ์ งั้นผมสมมติให้เป็นมิติ n\times n แล้วถ้าเป็นเมทริกซ์ไม่เอฐาน จะคิดยังไงต่ออะครับ แล้วถ้า A, B ไม่เอกฐานแล้ว A-B จะไม่เอกฐานด้วยเหรอครับ

ก็ต้องแยกคิดเป็นกรณี แต่จะติดอะไรเยอะแยะมากมาย ครับ เพราะเราไม่รู้ว่า A,B มีสมบัติอื่นอีกมั้ย เช่น
AB=BA มั้ย A-B=เมตริกซ์ 0 มั้ย อะไรอย่างเงี้ย

[nooonuii]

เพิ่งเห็นว่าโจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์ Putnam นี่ครับ

ลองดูเฉลยในความคิดเห็นที่ 7 จาก mathlinks ครับ

Putnam

แต่ต้องมีเงื่อนไขเพิ่มว่า $A\neq B$ ครับ