แปลหน่อยครับ

[Siren-Of-Step]

$$AM-GM$$


PROOF. The inequality is clearly true for n = 2. If it is true for n numbers, it will be
true for 2n numbers because

$a_1 + a_2 + .....+ a_{2n}\geqslant n\sqrt[n]{a_1a_2a_3..a_n}+n\sqrt[n]{a_{n+1}a_{n+2}...a_{2n}} \geqslant 2n\sqrt[2n]{a_1a_2....a_n} $
Thus the inequality is true for every number n that is an exponent of 2. Suppose that
the inequality is true for n numbers. We then choose

$a_n = \frac{s}{n-1} ; s = a_1+a_2 + .....+a_{n-1}$
According to the inductive hypothesis, we get
$s+\frac{s}{n-1} \geqslant n\sqrt[n]{\frac{a_1a_2..a_{n-1}*s}{n-1}}\Rightarrow s \geqslant (n-1) \sqrt[n-1]{a_1a_2....a_{n-1}}$
Therefore if the inequality is true for n numbers, it will be true for $n - 1$ numbers.
By induction (Cauchy induction), the inequality is true for every natural number $n.$
Equality occurs if and only if $a_1 = a_2 = ... = a_n$

[C H O]

พิสูจน์ สมการนี้จริงสำหรับ n=2
ถ้ามันเป็นจริงสำหรับ n จำนวนแล้วมันจะเป็นจริงสำหรับ 2n จำนวนด้วย เพราะ
$a_1+a_2+...+a_{2n} \ge n\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}+n\sqrt[n]{a_{n+1}a_{n+1}...a_{2n}} \ge 2n\sqrt[2n]{a_1a_2...a_{2n}}$
ดังนั้นอสมการเป็นจริงสำหรับทุกค่า n ที่เป็นกำลังของ 2
สมมติว่าสมการนั้นเป็นจริงสำหรับ n จำนวน เราสามารถเลือก
$a_n=\frac{s}{n-1};s=a_1+a_2+...+a_{n-1}$
จากสมมติฐาน เราจะได้
$s+\frac{s}{n-1} \ge n\sqrt[n]{\frac{a_1a_2...a_{n-1}*s}{n-1}} \Rightarrow s \ge (n-1)\sqrt[n-1]{a_1a_2...a_{n-1}}$
ดังนั้น ถ้าอสมการเป็นจริงสำหรับ n จำนวน มันจะเป็นจริงสำหรับ n-1 จำนวนด้วย
โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์(ของโคชี) อสมการจะเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n
สมการจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $a_1=a_2=...=a_n$