เพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น-ม.ปลาย'2547

[gon]

แบบนี้ต้องมี Best Solution แน่ ๆ เลยครับ. แต่ผมยังหาไม่เจอ รู้สึกว่า sense ชักหายทุกวัน

[warut]

ลองคิดดูแล้วครับข้อ 14 ข้อนี้ก็คล้ายๆกับ TMO ข้อ 2 ที่ผมเคยทำไว้น่ะครับ

จาก (x² + y²)³ = (x³ - 3xy²)² + (y³ - 3x²y)² = 54² + 297² = 91125
ดังนั้น x² + y² = 45 ครับผม

[gon]

จริงด้วยครับ. โอ... ผมทำอย่างคุณ warut ไปทีแล้วนะนี่ แต่ผมนั่งคิดในใจเท่านั้น แล้วสมองมันก็ตอบกลับมาตอนกระจายสองวงเล็บรวมกัน ว่าไม่เท่ากับตัวยกกำลังสาม เลยไปดาวอังคารเลยที่นี้...

[warut]

ข้อ 15 หายแปลกแล้วครับ เพราะคุณ R-Tummykung de Lamar (แอบ) มาแก้โจทย์ให้แล้ว

ยังไงก็ตามข้อนี้ต้องทำภายใต้สมมติฐานว่า \(\frac{b}{c}\) เป็นเศษส่วนอย่างต่ำนะครับ ไม่งั้นจะมีมากกว่าหนึ่งคำตอบ

จาก
\[\frac{34}{13}=2\frac{8}{13}=a+\frac{b+c}{b+2c}\]
ดังนั้น \(a = 2\) และ \(\frac{b+c}{b+2c}=\frac{8}{13}\) เพราะ \(\frac{b+c}{b+2c}<1\)

เนื่องจาก (b, c) = 1 ดังนั้น (b + c, b + 2c) = 1 ด้วย
แสดงว่า b + c = 8 และ b + 2c = 13 นั่นคือ b = 3, c = 5
สรุปได้ว่า a²b²c = 180 หารด้วย 8 เหลือเศษ 4 ครับ

ข้อ 14) เพราะว่า (x³ - 3xy²) ² + (y³ - 3x² y) ² = (x² + y²) ³
ดังนั้น x² + y² = (54² + 297²) ^1/3 = 45

โอ๊ะ ลืมดูไปว่า คุณ warut เฉลยไปแล้ว

[Alberta]

แงๆๆๆๆๆ...T_Tข้อ 15 ผมคิดไงก็ไม่ออก(ตอยที่โจทย์เป็น34อะครับ)
แงๆๆ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ Alberta:
แงๆๆๆๆๆ...T_Tข้อ 15 ผมคิดไงก็ไม่ออก(ตอยที่โจทย์เป็น34อะครับ)
แงๆๆ

ขออภัยอย่างสูงครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ช่วยคิดข้อ 1 หน่อยครับ (ยากจัง) ...

[warut]

ไม่ทราบว่าที่โจทย์ถามหาคือผลบวกของเลขโดดของอะไรครับ ึab + 1 หรือ (ab + 1)/2

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
ไม่ทราบว่าที่โจทย์ถามหาคือผลบวกของเลขโดดของอะไรครับ ึab + 1 หรือ (ab + 1)/2

ผมว่าน่าจะ ึab+1 นะครับ

[warut]

อ๋อ...รู้แล้วว่าทำไมผมทำไม่ได้ซักที ก็เพราะเครื่องหมายปีกกาที่คลุมค่าของ a มันไม่ชัดเจน
ว่าคลุมเลขอะไรบ้าง ที่แท้มันก็คงคลุมเฉพาะเลข 0

ให้ x = 10²⁰⁰⁵ ดังนั้น a = x + 5, b = (x - 1)/9 และ
\[ab+1=\frac{\left(x+5\right)\left(x-1\right)}{9}+1=
\frac{x^2+4x+4}{9}=\frac{\left(x+2\right)^2}{9}\]
เราจึงได้
\[\sqrt{ab+1}=\frac{x+2}{3}=\frac{10^{2005}+2}{3}=333\dots3334\]
โดยที่มีเลข 3 อยู่ทั้งหมด 2004 ตัว

ดังนั้นผลบวกของเลขโดดของ ึab + 1 จึงมีค่าเท่ากับ 3*2004 + 4 = 6016 ครับ

[R-Tummykung de Lamar]

สวัสดีอีกครั้งนะครับ หลังจากเรื่องวุ่นๆของสอบจบลงครับ ..ก็มาต่อกันเลยที่ข้อ 16 เลยนะครับ ยังเป็นของ ม.ต้นอยู่ ครับ เวลาที่ใช้คิดข้อต่อจากนี้ก็ค่อนข้างบีบรัดพอสมควร เอาเป็นว่าคิดให้เร็วที่สุดเท่าที่คิดได้ละกันนะครับ

ข้อที่ 16 ครับ
ถ้า (3,3,3) เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ
x²+y²+z²=xyz ........(1)
ถ้า (a,b,c) เป็นคำตอบของสมการ (1) โดยที่ 0<a<b<c และ a,b,c เป็นจำนวนเต็ม
จงหา ค่าของ a+b+c ที่น้อยที่สุด

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 17 ครับ
จากรูป AC = AD = DE = 2 หน่วย BC = tan 8
จงหา BE²--AB²

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 18 ครับ
จากรูป ให้ O,P และ Q เป็นจุกศก.ของวงกลม ถ้าวงกลม Q มีรัศมี 7 หน่วยแล้ว โซนสีเขียวมี พ.ท.เท่าไร (คล้ายกับแบ่งโซนสีเลย )