[Singapore 2012] ช่วยหน่อยครับ FE

[เทพเวียนเกิด]

Find all functions $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ such that $\left(x+y\,\right)\left(f\left(x\,\right)-f\left(y\,\right)\,\right) = \left(x-y\,\right)f\left(x+y\,\right)
\forall x,y\in \mathbb{R} $

[Aquila]

1.$f(0)=0$

2.สร้าง $f(x)=g(x)-xg(1)$
จากจุดนี้สามารถหา $g$ ที่สอดคล้องกับ $f(1)=f(0)=0$ ได้

3.ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความในโจทย์
พยายามแทนค่าเพื่อสร้างสมการใหม่ให้ตัวแปร $x,y$ แยกออกจากกัน
(เพราะสามารถสรุปคำตอบด้วยวิธีแยกตัวแปรออกจากกัน)
ขั้นที่ 3 ต้องเลือกแทนค่า $x,y$ ดีๆ

ปล.โจทย์มี $x+y,x-y$ เต็มไปหมด ลองเลือกพวก $\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2}$ ดู
การที่ต้องสร้าง $g$ เหตุหนึ่งเพื่อ imply การใช้ $f(1)$ เพื่อกำจัดพจน์ที่น่ารำคาญทิ้งไปครับ

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

1.$f(0)=0$

2.สร้าง $f(x)=g(x)-xg(1)$
จากจุดนี้สามารถหา $g$ ที่สอดคล้องกับ $f(1)=f(0)=0$ ได้

3.ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความในโจทย์
พยายามแทนค่าเพื่อสร้างสมการใหม่ให้ตัวแปร $x,y$ แยกออกจากกัน
(เพราะสามารถสรุปคำตอบด้วยวิธีแยกตัวแปรออกจากกัน)
ขั้นที่ 3 ต้องเลือกแทนค่า $x,y$ ดีๆ

ปล.โจทย์มี $x+y,x-y$ เต็มไปหมด ลองเลือกพวก $\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2}$ ดู
การที่ต้องสร้าง $g$ เหตุหนึ่งเพื่อ imply การใช้ $f(1)$ เพื่อกำจัดพจน์ที่น่ารำคาญทิ้งไปครับ

ยังไม่ค่อยเข้าใจอะคีรับ ขอเป็น solution เลย ก็จัะดีมากครับ

[Aquila]

ดู 4 ตัวนี้ครับ

$P(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

$P(x,1-x)$

$P(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$

$P(1-\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$

[Amankris]

ทำแค่นี้ก็พอครับ

กดเบาๆ

แทน $(x,1)$ กับ $(x+1,-1)$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

#5

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ทำแค่นี้ก็พอครับ
แทน $(x,1)$ กับ $(x+1,-1)$

สุดท้ายได้ $f(x)$ อยู่ในรูป $ ax^2+bx$ หรือเปล่าครับ
แล้วค่อยแทนกลับไปหาค่า $a,b$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

#5


สุดท้ายได้ $f(x)$ อยู่ในรูป $ ax^2+bx$ หรือเปล่าครับ
แล้วค่อยแทนกลับไปหาค่า $a,b$

ไม่ต้องแทนกลับครับ ตรวจคำตอบได้เลย