ข้อผิดพลาดของหนังสือหลายเล่ม

[kanji]

มีหนังสือหลายเล่มมักจะบอกว่า การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของแบบวงกลมที่มีสิ่งของ n สิ่ง ที่มีบางสิ่งซ้ำกัน
ถ้าให้ $n_1,n_2,...,n_k$ เป็นจำนวนสิ่งของที่ซ้ำกัน แล้ว จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดเท่ากับ
$$\frac{(n-1)!}{n_1!n_2!...n_k!}$$ และถ้าได้คำตอบเป็นทศนิยมแล้วให้ปัดเศษขึ้น

ตัวอย่าง หาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม ของตัวอักษร 8 ตัว คือ AAAABBBB
หากใช้วิธีการข้างต้น เราจะได้จำนวนวิธีทั้งหมด $\frac{7!}{4!4!}=8.75$ ซึ่งจะตอบเป็น 9 วิธี
แต่ถ้าหาคำตอบโดยการเขียนวิธีออกมาจริงๆ จะได้ 10 วิธี คือ
(โดยการมองแบบวงกลม นำหางต่อหัว)
1. ABABABAB 2. AABBAABB

3. AAAABBBB 4. AAABABBB

5. AAABBABB 6. AAABBBAB

7. AABAABBB 8. AABABABB

9. AABBABAB 10.AABABBAB

(ส่วนวิธีการคิดโดยไม่เขียนออกมาก็พอจะมีเหมือนกัน โดยใช้การอาศัย คาบ ศึกษาได้จาก หนังสือคณิตศาสตร์ ของ อ.กมล เอกไทยเจริญ)

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanji

มีหนังสือหลายเล่มมักจะบอกว่า การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของแบบวงกลมที่มีสิ่งของ n สิ่ง ที่มีบางสิ่งซ้ำกัน
ถ้าให้ $n_1,n_2,...,n_k$ เป็นจำนวนสิ่งของที่ซ้ำกัน แล้ว จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดเท่ากับ
$$\frac{(n-1)!}{n_1!n_2!...n_k!}$$ และถ้าได้คำตอบเป็นทศนิยมแล้วให้ปัดเศษขึ้น

ตัวอย่าง หาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม ของตัวอักษร 8 ตัว คือ AAAABBBB
หากใช้วิธีการข้างต้น เราจะได้จำนวนวิธีทั้งหมด $\frac{7!}{4!4!}=8.75$ ซึ่งจะตอบเป็น 9 วิธี
แต่ถ้าหาคำตอบโดยการเขียนวิธีออกมาจริงๆ จะได้ 10 วิธี คือ
(โดยการมองแบบวงกลม นำหางต่อหัว)
1. ABABABAB 2. AABBAABB

3. AAAABBBB 4. AAABABBB

5. AAABBABB 6. AAABBBAB

7. AABAABBB 8. AABABABB

9. AABBABAB 10.AABABBAB

(ส่วนวิธีการคิดโดยไม่เขียนออกมาก็พอจะมีเหมือนกัน โดยใช้การอาศัย คาบ ศึกษาได้จาก หนังสือคณิตศาสตร์ ของ อ.กมล เอกไทยเจริญ)

จะใช้สูตรนั้นได้ก็ต่อเมื่อ $(n_1,n_2,n_3,...,n_k)=1$ หากหรม.ไม่เท่ากับ 1 จะต้องพิจารณาเป็นคาบๆไปครับ

[M@gpie]

อืมมม จะว่าไปไม่เคยเจอโจทย์ที่เรียงของซ้ำเป็นวงกลมเลยนะครับเนี่ย

[kanakon]

พอดีมีแบบฝึกหัดที่โรงเรียนในเรื่องนี้หากใครสนใจลองทำได้นะครับ เรื่องการการเรียงของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม
1. จงหาจำนวนวิธีในการจัดอักษร 6 ตัว a,a,b,b,c,c ในแนววงกลม(16 วิธี)
2. จงหาจำนวนวิธีในการจัดอักษร 8 ตัว a,a,a,a,b,b,b,b ในแนววงกลม(14 วิธี)

[sck]

เรื่องนี้มักมีข้อผิดพลาดในหนังสือต่างๆมากครับ
ส่วน วิธีนี้ก็ใช้ไม่ได้กับจำนวนของซ้ำที่ หรม. ไม่เท่ากับ 1
แต่ในตำหาหลายๆเล่ม ก็ยังจะฝืนใช้อีก
ทั้งที่ค่าที่ออกมาไม่ลงตัว ก็ให้ปัดซะ
ทั้งๆที่จะใช้ได้กับ ของซ้ำน้อยๆ ที่บังเอิญปัดแล้วถูก