โจทย์สมาคม ปี 2542 สมการกำลังสอง

[sornchai]

ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ปี 42
กำหนดให้ a และ b เป็นรากของสมการ $ ax^{ 2 }+bx+c=0$
และ a₁ และ b₁เป็นรากของสมการ $4 ax^{ 2}-2bx+c =0$
จะได้ 4a²₁ + 4b²₁มีค่าเท่าใดในเทอมของ a และ b
ก. a² + b² ข. 4a² + 2b²
ค. 4a² - 2b² ง. 2a² - ab + b²

[nongtum]

จาก $\displaystyle\frac{c}a=\alpha\beta=4\alpha_1\beta_1$ และ $\displaystyle\frac{b}a=-(\alpha+\beta)=2(\alpha_1+\beta_1)$ จะได้
$4\alpha_1^2+4\beta_1^2=(\alpha+\beta)^2-8\alpha_1\beta_1=\alpha^2+\beta^2$

[sornchai]

ผมไม่เข้าใจ c/a = ab= 4(a₁b₁), b/a = -(a+b)=2(a₁1b) มาได้อย่างไรครับผมคิดตั้งนานคิดไม่ออกครับ

[nongtum]

มันมาจาก'ทฤษฎีบท'นี้ครับ:

ให้ $p,\ q$ เป็นคำตอบของสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c=0,\ a\ne0$ จะได้ว่า $\displaystyle\frac{c}{a}=pq,\ -\frac{b}{a}=p+q$
ซึ่งแสดงได้ง่ายๆโดยการกระจาย $(x-p)(x-q)$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ครับ

[gon]

เราเรียกว่า "Vieta's Formulas" หรือ "Vieta's Relations" ครับ.

สมการพหุนาม
Vieta ' Formulas