โจทย์จากเพื่อน

[tatari/nightmare]

ผมเพิ่งได้มาตอนหลังประกาศผล สสวท.ครับ(ไม่ติดเพราะความสะเพร่าของตน) เห็นว่าเป็นโจทย์ สสวท ใน ค่าย
นี่เป็นข้อที่ผมทำไม่ได้
1.จงแสดงว่า จำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป $\frac{x^2+x+1}{y}$ มีเป็นอนันต์
2.ให้ a b c d เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็น 0 พร้อมกัน
จงพิสูจนว่า รากของพหุนาม
$p(x)=x^6+ax^3+bx^2+cx+d$
ไม่สามารถเป็นจำนวนจริงได้ทุกราก
3.จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่อยู่ในรูป $\mid 25^n-7^m-3^m\mid$ เมื่อ m, n เป็นจำนวนนับ
4.จงแสดงว่าพหุนาม $x^n+5x^{n-1}+3$ ลดทอนไม่ได้บนเซตของจำนวนเต็ม(ห้ามใช้ eisenstien)

[dektep]

4.สมมติว่าลดทอนได้ โดยทฤษฏีบทการมีรากตรรกยะ จะได้ว่า$x\pm3,x\pm1$เป็นรากของพหุนามพิจารณาทีละกรณีพบว่าเป็นไปไม่ได้

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

4.สมมติว่าลดทอนได้ โดยทฤษฏีบทการมีรากตรรกยะ จะได้ว่า$x\pm3,x\pm1$เป็นรากของพหุนามพิจารณาทีละกรณีพบว่าเป็นไปไม่ได้

พหุนามลดทอนได้บนเซตของจำนวนเต็ม ไม่ได้หมายความว่า มีรากที่เป็นจำนวนเต็ม ครับ

ตัวอย่าง $(x^2+2x+3)(x^2+2x+4)$ ลดทอนได้ แต่ไม่มีรากเป็นจำนวนเต็มเลย

[Art_ninja]

2.สมมติว่ารากทั้ง 6 เป็นจำนวนจริงทั้งหมดคือ $k_1,k_2,...,k_6$
โดย Viete's formular จะได้ว่า $\sum_{i = 1}^{6}k_i=0$ และ $\sum_{i\not= j,1\leq i,j\leq 6}^{}k_ik_j=0$
เนื่องจาก $\sum_{i = 1}^{6}k_i=\sum_{i=1}^{6}k^2_i+2\sum_{i\not= j,1\leq i,j\leq 6}^{}k_ik_j$ ดังนั้น $\sum_{i=1}^{6}k^2_i=0$ เนื่องจาก $k_1,k_2,...,k_6$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น
$k_1,k_2,...,k_6=0$ทำให้ $a,b,c,d=0$ เกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้นรากของ $p(x)$ ไม่สามารถเป็นจำนวนจริงได้ทั้งหมด

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

โดย Viete's formular จะได้ว่า $\sum_{i = 1}^{6}k_i=0$ และ $\sum_{i\not= j,1\leq i,j\leq 6}^{}k_ik_j=0$

ตรงนี้ช่วยขยายความหน่อยครับ ผมไม่เคยรู้จะสูตรนี้มาก่อน มันจะใช้ได้ตอนไหนครับ

[M@gpie]

ในที่นี้ $\sum_{i\not= j,1\leq i,j\leq 6}^{}k_ik_j=0$ เพราะมาจากสัมประสิทธิ์ หน้า $x^4$ เป็นศูนย์ครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

ในที่นี้ $\sum_{i\not= j,1\leq i,j\leq 6}^{}k_ik_j=0$ เพราะมาจากสัมประสิทธิ์ หน้า $x^4$ เป็นศูนย์ครับ

ขอบคุณครับ เข้าใจแล้วครับ

[kanji]

ช่วย hint ข้อ 3 หน่อยครับ

[Anonymous314]

ข้อ 4 ครับ IMO 1993 Problem 1

[Aรักการเรียนครับป๋ม]

อ่ะมีเฉลยIMO ด้วยหรอ หาเท่าไหร่ก็หาเฉลยไม่เจอแต่โจทย์อ่ะ เพียบ! ใครมีเฉลย ผมขอหน่อยจิ ขอบคุณครับ

[RoSe-JoKer]

IMO conpendium ไงครับ...

[nut_sk129]

3.ตอบ 15
พิสูจน์
พิจารนา mod 2 จะได้ว่า $25^n - 7^m - 3^m$ เป็นคี่
ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 1,3,5,7,9,11,13
พิจารนา mod 3 จะได้ว่า 3 หาร $25^n - 7^m - 3^m$ ลงตัว
เพราะฉะนั้นค่าที่เป็นไปได้คือ 3,9
พิจารนา mod 4 , mod 5
เกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้นค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้คือ 15