ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ 2

[LightLucifer]

คือตอนนี้มกำลังมึนๆกับพวกอสมการ Holder's, Chebychev's, Minkowski's, Power mean อ่ะครับ รบกวนช่วยสอนพวกเทคนิคการพิสูจน์ของอสมการพวกนี้หน่อยนะครับ
ขอข้อนี้ก่อนนะครับ

กำหนดให้ $a,b\geqslant0$ จงพิสูจน์ว่า
$$(a+b)(a^3+b^3)(a^7+b^7)\leqslant 4(a^{11}+b^{11})$$

[nooonuii]

Show that $(a+b)(a^3+b^3)\leq 2(a^4+b^4)$

and $(a^4+b^4)(a^7+b^7)\leq 2(a^{11}+b^{11})$

Chebychev inequality.

[nooonuii]

Another Idea : Use Power Mean Inequality.

$a+b\leq ? (a^{11}+b^{11})^{?}$

$a^3+b^3\leq ? (a^{11}+b^{11})^{?}$

$a^7+b^7\leq ? (a^{11}+b^{11})^{?}$

[LightLucifer]

อ๋อ ขอบคุณมากเลยครับ
แล้วถ้าเป็นข้อนี้อ่ะครับ เอาแบบไม่ใช้โคชีอ่ะครับคิดไม่ออกอ่ะ

กำหนดให้ $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ จงพิสูจน์ว่า
$$a+b+c\leqslant \frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2b}+\frac{c^2+a^2}{2a}$$

[nooonuii]

Cauchy-Schwarz

[LightLucifer]

ขอแบบที่ไม่ใช่ Cauchy-Schwarz อ่ะครับเพราะอันนี้มันเป็นแบบฝึกหัดของ Chebychev อ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

อ๋อ ขอบคุณมากเลยครับ
แล้วถ้าเป็นข้อนี้อ่ะครับ เอาแบบไม่ใช้โคชีอ่ะครับคิดไม่ออกอ่ะ

กำหนดให้ $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ จงพิสูจน์ว่า
$$a+b+c\leqslant \frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2b}+\frac{c^2+a^2}{2a}$$

It should be

$$a+b+c\leqslant \frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b}$$

[nooonuii]

WLOG, assume $a\leq b\leq c$. Then

$\dfrac{1}{c}\leq\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{a}$ and $a^2+b^2\leq a^2+c^2\leq b^2+c^2$.

Apply Chebychev inequality to these sets of variables.

Then use AM-HM or other methods to get the required inequality.

[LightLucifer]

จากที่พี่ nooonuii แนะมา ผมได้แบบนี้อ่ะครับ
$(\frac{1}{3}((b^2+c^2)+(a^2+c^2)+(a^2+b^2))(\frac{1}{3}(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}) \leqslant \frac{1}{3}(\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{a^2+c^2}{2b} \frac{a^2+b^2}{2c})$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leqslant(\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{a^2+c^2}{2b} \frac{a^2+b^2}{2c}) $

แต่ผมคิดให้ $a+b+c \leqslant LHS$ ไม่ได้อ่ะครับช่วยแนะหน่อยครับ

[nooonuii]

Use

$\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\geq \dfrac{3}{a+b+c}$ and

$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$

[LightLucifer]

อ๋อ ผมยังด้อยประสบการณ์อีกมากเลยนะครับเนี่ย ไว้มีสงสัยอีกจะมาถามนะครับ

[LightLucifer]

ผมขอ Chebychev อีกข้อนะครับ ยังไม่คล่องพอเลย

ให้ $a,b,c\geqslant0$ จงพิสูจน์ว่า
$$(ab+bc+ca)(a+b+c)^4\leqslant27(a^3+b^3+c^3)^2$$

[nooonuii]

ใช้ $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$ ก่อนครับ

จากนั้นก็พิสูจน์สองอสมการคือ

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\leq .....$

$(a+b+c)^3\leq .......$

[LightLucifer]

ขอบคุณมากเลยครับ ไว้สงสัยจะมาถามใหม่นะครับ ^^

[Jew]

ไหนๆคุณไลท์ก็ตั้งแล้วรบกวนคุณ nooonuii ช่วยคิดหน่อยครับ
จงแสดงว่า
$n[(n+1)^{\frac{1}{n}}-1]\prec 1+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{n}\prec n-[(n-1)(n)^{-\frac{1}{n-1}}]$

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ มากกว่าหรือเท่ากับสอง

ขอแบบภาษาไทยได้ไหมครับ