ช่วยกัน Post สพฐ. รอบ 2 ปี 54

[whatshix]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShaDoW MaTH

$\frac{7}{1}$ + $\frac{7}{1+2}$ + $\frac{7}{1+2+3}$ + $\frac{7}{1+2+3+4}$ +... + $\frac{7}{1+2+3+...+100}$
ช่วยแสดงให้ดูหน่อยนะครับ

ในทางคณิตศาสตร์เราเรียกโจทย์แบบนี้ว่า telescoping แยกมาตัด แล้วก็ป้าบๆๆ
7(1+1/3+1/6+1/10+...+1/5050)
คูณ 2/2
=14(1/2+1/6+1/12+1/20+...+1/10100)
=14(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+...+1/100-1/101)
=14(1-1/101)
=14(100/101)
=1400/101

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShaDoW MaTH

$\frac{7}{1}$ + $\frac{7}{1+2}$ + $\frac{7}{1+2+3}$ + $\frac{7}{1+2+3+4}$ +... + $\frac{7}{1+2+3+...+100}$
ช่วยแสดงให้ดูหน่อยนะครับ

เพราะว่า $1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$

ดังนั้น $\frac{1}{1+2+3+...+n} = \frac{2}{n(n+1)}$ ....(*)

$\frac{7}{1} + \frac{7}{1+2} + \frac{7}{1+2+3} + \frac{7}{1+2+3+4} +... + \frac{7}{1+2+3+...+100} $

$= 7(\frac{1}{1} + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} +... + \frac{1}{1+2+3+...+100}) $

$= 7(\frac{2}{1(1+1)} + \frac{2}{2(2+1)} + \frac{2}{3(3+1)} + \frac{2}{4(4+1)} +... + \frac{2}{100(100+1)}) \ \ $ (จาก (*))

$= 14(\frac{1}{1(1+1)} + \frac{1}{2(2+1)} + \frac{1}{3(3+1)} + \frac{1}{4(4+1)} +... + \frac{1}{100(100+1)}) \ \ $

$= 14(\frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5 } +... + \frac{1}{100 \times 101}) \ \ $

$ = 14[(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) +(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{100}-\frac{1}{101})]$

$ = 14(\frac{1}{1}-\frac{1}{101})$

$= \frac{1400}{101} = 13 \frac{87}{101}$


หมายเหตุ แน่ใจนะครับว่าตัวเศษเป็น 7 ไม่ใช่4

[banker]

เพราะว่า สามเหลี่ยม KGJ : สามเหลี่ยม GLJ = 3 :1 (ฐานเท่ากัน สูงเป็นสามเท่า)

KGLJ = 80 จึงได้ KGJ = 60 และ GLJ = 20

[ShaDoW MaTH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

เพราะว่า $1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$

ดังนั้น $\frac{1}{1+2+3+...+n} = \frac{2}{n(n+1)}$ ....(*)

$\frac{7}{1} + \frac{7}{1+2} + \frac{7}{1+2+3} + \frac{7}{1+2+3+4} +... + \frac{7}{1+2+3+...+100} $

$= 7(\frac{1}{1} + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} +... + \frac{1}{1+2+3+...+100}) $

$= 7(\frac{2}{1(1+1)} + \frac{2}{2(2+1)} + \frac{2}{3(3+1)} + \frac{2}{4(4+1)} +... + \frac{2}{100(100+1)}) \ \ $ (จาก (*))

$= 14(\frac{1}{1(1+1)} + \frac{1}{2(2+1)} + \frac{1}{3(3+1)} + \frac{1}{4(4+1)} +... + \frac{1}{100(100+1)}) \ \ $

$= 14(\frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5 } +... + \frac{1}{100 \times 101}) \ \ $

$ = 14[(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) +(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{100}-\frac{1}{101})]$

$ = 14(\frac{1}{1}-\frac{1}{101})$

$= \frac{1400}{101} = 13 \frac{87}{101}$


หมายเหตุ แน่ใจนะครับว่าตัวเศษเป็น 7 ไม่ใช่4

ไม่แน่ใจครับไม่รู้น้องของผมจำมาถูกมั้ย
ขอบคุณมากๆๆครับ คุณbanker

[banker]

มีจำนวน 3 หลักจำนวนหนึ่ง ถ้าสลับที่ตัวเลข 3 ตัว ของจำนวนนั้น ให้ได้ค่ามากที่สุด และน้อยที่สุด ผลต่างจะเท่ากับจำนวนนั้น ให้หาจำนวนนั้่น

ข้อนี้ดูเหมือนเคยเฉลยในนี้เมื่อปีที่แล้ว?

$954$
$ \ \ \ \ \ -$
$459$
-------
$495$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

r = 1, $\pi = 3.14$

ให้พื้นที่สีเหลือง = 1 + 2 + 3 +4 + 5 = A

(1+2+b) + ( 3+ 4 +d) +(5 + f) = A +b +d + f

$(180^0) + (180^0) + 360^0 = A + 180^0$

$ 540^0 = 1\frac{1}{2}$วงกลม = A

$A = \frac{3}{2} \times 3.14 \times1^2 = 4.71 \ $ ตารางหน่วย

[ShaDoW MaTH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ข้อนี้ดูเหมือนเคยเฉลยในนี้เมื่อปีที่แล้ว?

$954$
$ \ \ \ \ \ -$
$459$
-------
$495$

ทำไมถึงเป็นเลข 954+459 อ่ะครับ

[banker]

ให้เติมเลขโดดที่ไม่ซ้ำกัน? ลงในช่องว่าง แล้วได้ผลลัพธ์น้อยที่สุด

[banker]

ปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 30x30 และ 25x25 ให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะใช้กระเบื้องน้อยที่สุดกี่แผ่น

[lekb]

จำนวนๆหนึ่งซึ่งน้อยกว่า 1,000 เลขโดดในหลักหน้าสุดบวกเลขโดดในหลักหลังสุดเท่ากับ 12 มึจำนวนนั้นทั้งหมดกี่จำนวน

[math ninja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lekb

จำนวนๆหนึ่งซึ่งน้อยกว่า 1,000 เลขโดดในหลักหน้าสุดบวกเลขโดดในหลักหลังสุดเท่ากับ 12 มึจำนวนนั้นทั้งหมดกี่จำนวน

_ เติมได้ตั้งแต่ 0-9 รวมเป็น 10 จำนวน
3_9 = 10 จำนวน
4_8 = 10 จำนวน
5_7 = 10 จำนวน
6_6 = 10 จำนวน
7_5 = 10 จำนวน
8_4 = 10 จำนวน
9_3 = 10 จำนวน
รวมเป็น 70 จำนวน

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lekb

จำนวนๆหนึ่งซึ่งน้อยกว่า 1,000 เลขโดดในหลักหน้าสุดบวกเลขโดดในหลักหลังสุดเท่ากับ 12 มึจำนวนนั้นทั้งหมดกี่จำนวน

9_3,3_9,8_4,4_8,7_5,5_7,6_6 = 70 จำนวน

93,39,84,48,75,57,66 = 7 จำนวน

รวม 77 จำนวน

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 30x30 และ 25x25 ให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะใช้กระเบื้องน้อยที่สุดกี่แผ่น

ครน ของ 25, 30 คือ 150

ดังนั้นใช้กระเบื้อง 30x30 จำนวน 5x5 = 25 แผ่น

เอากระเบื้อง 25x25 ไปเติม 2 ด้าน จำนวน 2x6 + 1 = 13 แผ่น

รวม 38 แผ่น

[whatshix]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

เพราะว่า $1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$

ดังนั้น $\frac{1}{1+2+3+...+n} = \frac{2}{n(n+1)}$ ....(*)

$\frac{7}{1} + \frac{7}{1+2} + \frac{7}{1+2+3} + \frac{7}{1+2+3+4} +... + \frac{7}{1+2+3+...+100} $

$= 7(\frac{1}{1} + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} +... + \frac{1}{1+2+3+...+100}) $

$= 7(\frac{2}{1(1+1)} + \frac{2}{2(2+1)} + \frac{2}{3(3+1)} + \frac{2}{4(4+1)} +... + \frac{2}{100(100+1)}) \ \ $ (จาก (*))

$= 14(\frac{1}{1(1+1)} + \frac{1}{2(2+1)} + \frac{1}{3(3+1)} + \frac{1}{4(4+1)} +... + \frac{1}{100(100+1)}) \ \ $

$= 14(\frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5 } +... + \frac{1}{100 \times 101}) \ \ $

$ = 14[(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) +(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{100}-\frac{1}{101})]$

$ = 14(\frac{1}{1}-\frac{1}{101})$

$= \frac{1400}{101} = 13 \frac{87}{101}$


หมายเหตุ แน่ใจนะครับว่าตัวเศษเป็น 7 ไม่ใช่4

คิดว่าคงถูกแล้วครับ
เพราะลูกศิษย์ผมที่เข้าสอบ ยืนยันเหมือนกัน 2 คน

ปล.ตอนแรกผมทำผิด เพราะลืมเขียนพจน์แรกในกระดาษทด

[กระบี่บูรพา]

ลูกผมออกมา พูดไม่ออกเลยครับ บอกว่า "ง่ายนิดเดียวพ่อ (ที่เหลือโคตรยาก)"555555
เดี๋ยวจะค่อยๆถาม แต่เห็นบอกว่าข้อ 5 คะแนน ทำได้ข้อเดียว จาก 7 ข้อ คงกลับบ้านมือเปล่าแน่ๆ

เห็นลูกบอกมีอนุกรมเศษส่วน แตมียกกำลัง 2 ด้วย แล้วข้างบนก็ไม่เท่ากัน จะคิดอย่างไรครับ

[banker]

จำนวนสามหลักมีกี่จำนวนที่มีคุณสมบัติดังนี้

หลักร้อยมากกว่าหลักสิบ และหลักสิบมากกว่าหลักหน่วย

วิธีคิด

หลักร้อยเป็นเลข 9 มีทั้งหมด 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36 จำนวน

หลักร้อยเป็นเลข 8 มีทั้งหมด 1+2+3+4+5+6+7 = 28 จำนวน

หลักร้อยเป็นเลข 7 มีทั้งหมด 1+2+3+4+5+6 = 21 จำนวน
.
.
.
หลักร้อยเป็น2 มี 1 จำนวน

รวม 36+28+21+...+1 = 120 จำนวน