Nice Napolean triangle(my problem)

[tatari/nightmare]

(created by poon thongsai)กำหนด $\bigtriangleup ABC$ ใดๆ จงพิสูจน์ว่าจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ
ของ Napolean's triangle ของ $\bigtriangleup ABC$ จะทับกับจุด centriod ของ $\bigtriangleup ABC$

[JanFS]

อ้าว มันก็เวกเตอร์ธรรมดานิครับ

[tatari/nightmare]

Please don't use vector or complex
Looking for similar triangle

[Onasdi]

ผมหาจนไปเจอ solution มาอันนึงครับ http://www.artofproblemsolving.com/F...c.php?p=608724
อยากเห็น solution ของคุณ tatari/nightmare ช่วยแสดงให้ดูหน่อยครับ

[tatari/nightmare]

I will show to you,onasdi !!!!
กำหนดจุด $T_1,T_2,T_3$ เป็นจุดยอดของ Napolean's triangle with respect to $\bigtriangleup ABC$
ซึ่งอยู่ตรงข้ามจุดยอง $A,B,C$ ตามลำดับ
กำหนดจุด M,N บน AB,AC ตามลำดับ โดยที่ $AM:MB=AN:NC=2:1$ ลากเส้น median ของ ABC(จากจุดยอด A) ตัด MN ที่ G สังเกตว่า G เป็น centroid ของ $\bigtriangleup ABC$!!!!!
นอกจากนี้สังเกตว่า $\angle AT_3B=\angle AT_2C=90,\angle MAT_3=\angle NAT_2=30$
เป๋นการเพียงพอที่จะแสดงว่า $GT_2=GT_3$
ตอนนี้ตัดจุด B,C ออกไปได้เลย จึงพิจารณาแค่ ส่วนของ$\bigtriangleup AMN$ กำหนดจุด P,Q เป็นจุดกึ่งกลางด้าน
AM,AN ตามลำดับ เป็นการง่ายที่จะแสดงว่า $PM=PA=PT_3,QA=QN=QT_2$
จะแสดงว่า $\bigtriangleup PGT_3 \cong \bigtriangleup PT_2G$
เนื่องจาก $P,Q,G$ เป็น midpoint ของด้าน $AM.AN,MN$ จึงได้ว่า $PG=\frac{AN}{2}=QN=QT_2$
$QG=\frac{AM}{2}=PM=PT_3$ ทีนี้จึงเหลือเพียงแสดงว่า $\angle GPT_3=\angle GQT_2$
ซึ่งอยากจะบอกว่า.....trivial(ใช้ศาสตร์การไล่มุม) #

[Onasdi]

สวยดีครับ

แก้ที่พิมผิดให้ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

นอกจากนี้สังเกตว่า $\angle AT_3B=\angle AT_2C=90$

ต้ิองเป็น $\angle AT_3M=\angle AT_2N=90$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

จะแสดงว่า $\bigtriangleup PGT_3 \cong \bigtriangleup PT_2G$

ต้องเป็น $\bigtriangleup PGT_3 \cong \bigtriangleup QT_2G$