ข้อสอบ เข้า ม.1 Gifted จ.ขอนแก่น

[whatshix]

ปีนี้โรงเรียนที่จังหวัดขอนแก่น 3 โรงเรียน (ขอนแก่นวิทยายน แก่นนครวิทยาลัย กัลยาณวัตร) ใช้ข้อสอบวิทย์คณิตชุดเดียวกันครับ (ไม่รู้ว่าจังหวัดอื่นเป็นแบบนี้ไหม) เห็นเค้าว่า สสวท มาช่วยออกข้อสอบวิชาคณิตกับวิทย์

อันนี้เป็นข้อสอบบางข้อที่ลูกศิษย์จำมาให้นะครับ

รถไถมีรัศมีของล้อหลังยาว 1.2 เมตร
8 เท่าของเส้นผ่านศูนกลางล้อหน้าเท่ากับ 5 เท่าของรัศมีล้อหลัง
ถ้ารถไถเดินทางได้ 48$\pi$ เมตร
จงหาว่าล้อหน้าและล้อหลังหมุนต่างกันกี่รอบ

พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปและครึ่งวงกลม 1 รูปมาวางต่อกันดังรูป
จงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงา เมื่อกำหนดค่า $\pi$ = 3.14 (ตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง)

วันแม่ปี 2554 ลูกทั้งสามคนได้ไปเยี่ยมแม่โดยตกลงกันว่า
ลูกคนที่ 1 จะไปเยี่ยมแม่ทุกๆ 3 วัน
ลูกคนที่ 2 จะไปเยี่ยมแม่ทุกๆ 5 วัน
ลูกคนที่ 3 จะไปเยี่ยมแม่ทุกๆ 7 วัน
จงหาว่าวันที่ เดือน และปี พ.ศ. ใด ที่ลูกทั้งสามคนจะมาเยี่ยมแม่พร้อมกันอีกครั้งหนึ่ง

ซื้อแก้วมา 400 ใบ ใบละ 10 บาท ทำแตกไป 35 ใบ
เมื่อขายแก้วที่เหลือจนหมดปรากฏว่าขาดทุน 27% จงหาว่าขายแก้วในราคาใบละกี่บาท

มีเหรียญห้าอยู่ x เหรียญ
โดยมีจำนวนเหรียญห้าคิดเป็น 1/2 ของจำนวนเหรียญสิบ
และมีเหรียญบาทคิดเป็น 4 เท่าของจำนวนเหรียญห้า
ถ้ามีเงินรวม 319 บาท จงหาว่าเหรียญสิบมีจำนวนกี่เหรียญ

นำเลขโดด 0 1 2 3 นำมาสร้างเลขสี่หลักได้กี่ตัว
โดยเลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน

จงหาจำนวนที่มากกว่า 15 แต่น้อยกว่า 100
ซึ่งหารด้วย 3 เหลือเศษ 2,
หารด้วย 4 เหลือเศษ 3,
หารด้วย 7 เหลือเศษ 4

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7} $ จงหา a+b

[polsk133]

ขอบคุณครับ แต่ข้อ
พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปและครึ่งวงกลม 1 รูปมาวางต่อกันดังรูป
จงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงา เมื่อกำหนดค่าพาย = 3.14 (ตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง)
งง อะครับข้อมูลครบไหม

[whatshix]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ขอบคุณครับ แต่ข้อ
พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปและครึ่งวงกลม 1 รูปมาวางต่อกันดังรูป
จงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงา เมื่อกำหนดค่าพาย = 3.14 (ตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง)
งง อะครับข้อมูลครบไหม

เดาว่า ถ้าแบ่งรูปแล้วน่าจะได้ประมาณนี้



เชื่อว่าโจทย์และรูปที่สมบูรณ์น่าจะบอกว่า สามารถแบ่งได้แบบนี้
เพราะถ้าไม่แบ่งครึ่งของครึ่งของวงกลม(1ใน4)ความรู้ระดับประถมโดยทั่วไปน่าจะคิดไม่ไหว

[polsk133]

อ่อครับ งั้นก็น่าจะแบ่งครึ่งแหละครับ ถูกแล้วครับแบบนั้น

[Euler-Fermat]

3. หา ค ร น $3,5,7$ แล้ว บวกวัน ครับ
4. $ 400(10)\frac{73}{100} = 365x$
แก้ x เลยครับ
5. เหรียญ 5$ x$ เหรียญ
เหรียญ 10 $2x$หรียญ
เหรียญ 1 $4x$ เหรียญ
$5(x)+10(2x)+4x =319$
ได้ x =11 แทนเลยครับ
6. กฏการคูณ
7. $ n= 3a+2$
$ n = 4b+3$
$n= 12k-1$ แต่ หาร 7 เหลือเศษ 4 ในช่วง $15<n<100$
มี k ที่ได้ คือ 8
ดังนั้น $n = 95$
8. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{1}{7}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{7}$
จะได้ $7a+7b = ab $
$(a-7)(b-7) =49$
จะได้ $a=b=14 $หรือ $a=8,56$ $ b =56,8$
$a+b = 28,64$

[cardinopolynomial]

ข้อ1. 44 รอบ

[whatshix]

รถไถมีรัศมีของล้อหลังยาว 1.2 เมตร
8 เท่าของเส้นผ่านศูนกลางล้อหน้าเท่ากับ 5 เท่าของรัศมีล้อหลัง
ถ้ารถไถเดินทางได้ 48$\pi$ เมตร
จงหาว่าล้อหน้าและล้อหลังหมุนต่างกันกี่รอบ

หาความยาวรอบวงของล้อหลังจาก
ความยาวรอบรูป = 2$\pi$r
จะได้ ความยาวรอบวงของล้อหลัง = 2$\pi\times $1.2 = 2.4$\pi$
เมื่อรถไถเดินทางได้ 48$\pi$ เมตร
ล้อหลังก็จะหมุนได้ $\frac{48\pi}{2.4\pi} = 20$ รอบ


หาความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของล้อหน้า จาก
8$\times $เส้นผ่านศูนกลางล้อหน้า = 5$\times $รัศมีล้อหลัง
ดังนั้น เส้นผ่านศูนกลางล้อหน้า = $\frac{5}{8}\times$รัศมีล้อหลัง = $\frac{5}{8}\times$1.2 = $\frac{6}{8}$ = 0.75
จะได้ ความยาวรอบวงของล้อหน้า = $\pi\times $0.75 = 0.75$\pi$
เมื่อรถไถเดินทางได้ 48$\pi$ เมตร
ล้อหลังก็จะหมุนได้ $\frac{48\pi}{0.75\pi} = 64$ รอบ


ล้อหน้าและล้อหลังหมุนต่างกัน 64 - 20 = 44 รอบ

[whatshix]

พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปและครึ่งวงกลม 1 รูปมาวางต่อกันดังรูป
จงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงา เมื่อกำหนดค่า $\pi$ = 3.14 (ตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง)

ตัดรูปออกมาดังนี้


หาพื้นที่ทั้งหมดตามที่ตัดออกมาจะได้
พื้นที่ทั้งหมด = (พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า 2 รูป) + (1 ใน 4 ของพื้นที่วงกลม)
ดังนั้น
พื้นที่ทั้งหมด = $(2\times 3\times 6) + \frac{1}{4}\times 3.14\times 3^2$ = 43.065


หาพื้นที่สามเหลี่ยมที่ไม่ได้ถูกแรเงา(พื้นที่สีขาว) ซึ่งมีฐานยาว 6+6+3 = 15 และสูง 3
ดังนั้น
พื้นที่สามเหลี่ยมส่วนที่ไม่ได้แรเงา = $\frac{1}{2}\times 15\times 3 $ = 22.5


พื้นที่ส่วนที่แรเงา = พื้นที่ทั้งหมด - พื้นที่สามเหลี่ยมส่วนที่ไม่ได้แรเงา
ดังนั้น
พื้นที่ส่วนที่แรเงา = 43.065 - 22.5 = 20.565

[whatshix]

วันแม่ปี 2554 ลูกทั้งสามคนได้ไปเยี่ยมแม่โดยตกลงกันว่า
ลูกคนที่ 1 จะไปเยี่ยมแม่ทุกๆ 3 วัน
ลูกคนที่ 2 จะไปเยี่ยมแม่ทุกๆ 5 วัน
ลูกคนที่ 3 จะไปเยี่ยมแม่ทุกๆ 7 วัน
จงหาว่าวันที่ เดือน และปี พ.ศ. ใด ที่ลูกทั้งสามคนจะมาเยี่ยมแม่พร้อมกันอีกครั้งหนึ่ง

หา ค.ร.น. ของ 3, 5, 7 ได้ 105 วัน นั่นแสดงว่า ทุกๆ 105 วัน ลูกทั้งสามคนจะมาเยี่ยมแม่พร้อมกันอีกครั้ง
นับจากวันแม่ คือ วันที่ 12 สิงหาคม ไป 105 วัน ก็จะเป็นวันที่ 117 สิงหาคม

แต่วันที่ 117 สิงหาคม ไม่มีอยู่จริง เราจึงลบออกด้วยจำนวนวันในเดือนสิงหาคม จะได้
117 - 31 = 86 กันยายน

แต่วันที่ 86 กันยายน ไม่มีอยู่จริง เราจึงลบออกด้วยจำนวนวันในเดือนกันยายน จะได้
86 - 30 = 56 ตุลาคม

แต่วันที่ 56 ตุลาคม ไม่มีอยู่จริง เราจึงลบออกด้วยจำนวนวันในเดือนตุลาคม จะได้
56 - 31 = 25 พฤศจิกายน ซึ่งมีอยู่จริง

ตอบ 25 พฤศจิกายน 2554

[whatshix]

ซื้อแก้วมา 400 ใบ ใบละ 10 บาท ทำแตกไป 35 ใบ
เมื่อขายแก้วที่เหลือจนหมดปรากฏว่าขาดทุน 27% จงหาว่าขายแก้วในราคาใบละกี่บาท

ลงทุนไป 4000 บาท ขาดทุน 27% แสดงว่าขายได้เงิน $\frac{73}{100}\times 4000 = 2920$ บาท

แก้วแตกไป 35 ใบ เหลือ 365 ใบ
แสดงว่าขายใบละ $\frac{2920}{365}$ = 8 บาท

[whatshix]

มีเหรียญห้าอยู่ x เหรียญ
โดยมีจำนวนเหรียญห้าคิดเป็น 1/2 ของจำนวนเหรียญสิบ
และมีเหรียญบาทคิดเป็น 4 เท่าของจำนวนเหรียญห้า
ถ้ามีเงินรวม 319 บาท จงหาว่าเหรียญสิบมีจำนวนกี่เหรียญ

เหรียญห้ามี x เหรียญ
เนื่องจากเหรียญ 5 มีเป็นครึ่งหนึ่งของสิบ จะได้ว่า เหรียญสิบมีเป็น 2 เท่าของเหรียญห้า ดังนั้นเหรียญสิบจะมี 2x เหรียญ
เนื่องจากเหรียญบาท มีเป็น 4 เท่าของเหรียญห้า ดังนั้นเหรียญบาทมี 4x เหรียญ

สร้างตัวแปรของจำนวนเหรียญ
เหรียญห้า = x เหรียญ
เหรียญสิบ = 2x เหรียญ
เหรียญบาท = 4x เหรียญ

แต่โจทย์ให้จำนวนเงินรวมมา ก็ต้องหาจำนวนเงิน โดยนำจำนวนเหรียญไปคูณค่าของเงินของแต่ละเหรียญดังนี้
เหรียญห้า = x เหรียญ = 5x บาท
เหรียญสิบ = 2x เหรียญ = 20x บาท
เหรียญบาท = 4x เหรียญ = = 4x บาท

จำนวนเงินรวมเท่ากับ 319 ดังนั้น 5x+20x+4x = 319 หรือ 29x = 319 แก้สมการได้ x = 11
จากเหรียญสิบ = 2x เหรียญ และ x = 11
ดังนั้น เหรียญสิบ เท่ากับ 22 เหรียญ

[whatshix]

นำเลขโดด 0 1 2 3 นำมาสร้างเลขสี่หลักได้กี่ตัว
โดยเลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน

วิธีที่ 1 ใช้แผนภูมิกิ่งช่วยในการนับ
กรณีที่เลือกหลักพันเป็นเลข 1 ไล่ได้ 6 จำนวนที่แตกต่างกันดังนี้

ที่เหลือเราก็เลือกหลักพันเป็นเลข 2 และเลข 3 เราก็จะได้อีกกรณีละ 6 จำนวน รวมเป็น 18 จำนวน
ปล.เราไม่เลือกหลักพันเป็นเลข 0 เพราะมันจะกลายเป็นเลข 3 หลัก


วิธีที่ 2 ใช้กฎการคูณ
-เราเลือกหลักพันได้ทั้งหมด 3 แบบ คือเลข 1 หรือ 2 หรือ 3 (เราไม่เลือกหลักพันเป็นเลข 0)
-เราเลือกหลักร้อยได้ทั้งหมด 3 แบบ คือ เลขที่เหลือ 3 ตัวที่เหลือจากการเลือกหลักพัน (ที่เหลือ 3 ตัวเพราะหลักร้อยเราเลือกเลข 0 ได้)
-เราเลือกหลักสิบได้ทั้งหมด 2 แบบ คือ เลขที่เหลือ 2 ตัวที่เหลือจากการเลือกหลักพันและหลักร้อย
-เราเลือกหลักหน่วยได้ทั้งหมด 1 แบบ คือ เลขที่เหลือตัวสุดท้ายที่ยังไม่ได้เลือกไปเป็นหลักพัน, หลักร้อย และหลักสิบ
ดังนั้น เรามีวิธีสร้างเลข 4 หลักที่แตกต่างหันทั้งหมด $3\times 3\times 2\times 1 = 18$ จำนวน

[whatshix]

จงหาจำนวนที่มากกว่า 15 แต่น้อยกว่า 100
ซึ่งหารด้วย 3 เหลือเศษ 2,
หารด้วย 4 เหลือเศษ 3,
หารด้วย 7 เหลือเศษ 4

ถ้าเป็นระดับประถมฯ ก็จะใช้วิธีไล่ตัวเลขจากเงื่อนไขเอา
เริ่มไล่จากแม่ 7 ก่อน (เพราะจำนวนจะเพิ่มเร็ว และไล่ครบเร็วที่สุด)
จำนวนที่มากกว่า 15 แต่น้อยกว่า 100 ซึ่งหารด้วย 7 แล้วเหลือเศษ 4 ได้แก่
$7\times 2 + 4 = 14 + 4 = 18$
$7\times 3 + 4 = 21 + 4 = 25$
$7\times 4 + 4 = 28 + 4 = 32$
ขี้เกียจคูณละ

พอไล่ได้แค่ 3 ตัวเราก็จะสังเกตได้ว่า มันเป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นทีละ 7 ดังนั้น
จำนวนที่มากกว่า 15 แต่น้อยกว่า 100 ซึ่งหารด้วย 7 แล้วเหลือเศษ 4 ได้แก่
18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67, 74, 81, 88 และ 95

จากนั้น
เราก็ใช้เงื่อนไข 2 เงื่อนไขที่เหลือตรวจสอบว่า
ในจำนวนข้างต้น มีจำนวนใดบ้างที่หารด้วย 3 เหลือเศษ 2 และ หารด้วย 4 เหลือเศษ 3

ปรากฏว่า มีเพียง 95 ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว

ตอบ 95

[whatshix]

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7} $ จงหา a+b

เนื่องจากโจทย์ไม่ได้บอกว่า a และ b เท่ากันหรือไม่ จึงขอเฉลย 2 คำตอบ
(โจทย์ของจริง อาจจะบอกก็ได้ ลูกศิษย์ผมอาจจะจำมาไม่หมด )

เฉลยที่ง่ายที่สุด คือ $\frac{1}{7} = \frac{1}{7}\times \frac{2}{2} = \frac{2}{14} = \frac{1+1}{14} = \frac{1}{14} + \frac{1}{14}$
ดังนั้น a+b = 14+14 = 28

อีกจำนวนคือ คูณด้วยผลบวกของตัวประกอบของ 7 (1+7) ทั้งเศษและส่วนได้ดังนี้
$\frac{1}{7} = \frac{1}{7}\times \frac{(1+7)}{(1+7)} = \frac{1+7}{7\times 8} = \frac{1+7}{56} = \frac{1}{56} + \frac{7}{56} = \frac{1}{56} + \frac{1}{8}$
ดังนั้น a+b = 56+8 = 64

ตอบ 28 และ/หรือ 64