limit inferior and limit superior

[B บ ....]

Prove that $$ lim \ inf \ x_n \ + \ lim \ sup \ y_n \ \leqslant \ lim \ sup(x_n + y_n) \ where \ lim \ inf \ x_n = A \in R \ and \ lim \ sup \ y_n \ =B \in R $$
พิสูจน์ ยังไงดีครับ งง

[B บ ....]

ลองมั่ว พิสจน์ดูเอง พอจะโอเคมั้ยอ่ะครับ
$ From \ lim \inf \ x_n \ = \ A \ and \ lim \ sup \ y_n = B$
Let e>0, there exist $ N_1 \ and \ N_2$ such that if $ n\geqslant N_1 $ then $x_n \geqslant A-e/2$
and if $ n \geqslant N_2$ then $ y_n < B+e/2 $
and (*) there are infinitely many $ y_n , n \geqslant N_2$, such that $y_n \geqslant B-e/2$
From (*) construct a subsequence $ y{_n{_k}} $ define by $ y{_n{_k}} = y_n \ if \ y_n \geqslant B-e/2$
Hence if N= max{$N_1,N_2$} and $ n\geqslant N , n_k \geqslant k \geqslant N $ then $ y{_n{_k}} + x_n > A+B - e$
So $ lim \ inf \ (y{_n{_k}} + x_n) \geqslant A+B $
Form the fact that $ lim \ inf \ (y{_n{_k}} + x_n) \leqslant lim \ sup \ (y{_n{_k}} + x_n)$
Hence $$ lim \ sup \ (y{_n{_k}} + x_n) \geqslant A+B$$
Next the expression $ lim \ sup \ (y_n + x_n) \geqslant lim \ sup \ (y{_n{_k}} + x_n) $ will be shown true
Notice that every $ n \geqslant N $ such that $ y_n < B-e/2 $ won't be any terms of $y{_n{_k}}$
So when N incerease the terms of $y{_n{_k{_m}}}$ that differ from $ lim \ sup \ y{_n{_k}}$ the least must be eliminated before the correspond term of $ y{_n{_k{_m}}}$ in the sequnce $y_n$. This imply that $ lim \ sup \ (y_n + x_n) \geqslant lim \ sup \ (y{_n{_k}} + x_n) $
Therefore $$lim \ sup \ (y_n + x_n) \geqslant A+B = \ lim \inf \ x_n \ + \ lim \ sup \ y_n$$
เหมือนแถไปเรื่อยๆ มาก

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

From (*) construct a subsequence $ y{_n{_k}} $ define by $ y{_n{_k}} = y_n \ if \ y_n \geqslant B-e/2$

ผมจำเรื่องนี้ไม่ได้แล้วก็เลยยังไม่แสดงความคิดเห็น แต่บรรทัดนี้คิดว่านิยามของ $y_{n_k}$ ยังกำกวมครับ

[B บ ....]

เหมือนกับว่าจะสร้างลำดับย่อย จากบางพจน์ของลำดับเดิมอ่ะครับ(โดยเอาเฉพาะพจน์ของ $ y_n \ ซึ่ง \ y_n \geqslant B-e/2$) ผมก็ว่ามันยังนิยามไม่ค่อยดี แต่ไม่รู้จะนิยามยังไง เพราะ มันสมมติลำดับในรูปทั่วไป เลยไม่รู้สูตร หรือ เทอมที่ n ที่จะมาใช้เขียนความสัมพันธ์เลย ยังไงก็รบกวนผู้รู้ช่วยดูให้นิดนึงครับ ตอนนี้ตันมาก งง

[B บ ....]

เงียบเลย ไม่มีใครแนะนำไรเพิ่มเติมบ้างหรอครับ

[B บ ....]

รู้สึกว่าที่พิสูจน์ไปยังไม่ถูกครับ มีใครแนะนำวิธีพิสูจน์ให้ได้บ้าง

[Lekkoksung]

ทิ้งนิยามให้หน่อยครับ

[Anarist]

พอเข้าใจไอเดียแหละครับ ว่ามันเลิอกลำดับย่อยได้
แต่ตอนเอามาใช้มันดูวุ่นวายมากอยู่
อย่าง $ lim inf (y_{n_k}+ x_n) \leq lim sup (y_{n_k}+x_n) $ มันจะแหม่งๆเพราะ index มันจะเริ่มงง

วิธีที่ผมแนะนำ น่าจะใช้นิยามของ lim sup แบบว่ามันคือลิมิตของ sup ไปเลย
เช่น ให้ $B_m = \sup_{n >m} y_n$ ตามนิยามเราก็จะได้ลิมิตของ $B_m$ คือ $B$ แล้วก็นิยาม $A_m$ คล้ายๆกัน

สิ่งที่จะสนใจคือ lim sup ของ $x_n + y_n$
ดังนั้นเราเลยต้องดู $C_m = \sup_{n >m} (x_n + y_n ) $
สำหรับ $n>m$ เราจะได้ $x_n + y_n \geq ( \inf_{n >m} x_n ) + y_n = A_m + y_n $
$A_m$ ไม่ขึ้นกับ $n$ แล้วเลยได้ $C_m \geq A_m + \sup_{n >m} y_n = A_m + B_m$
แล้วก็น่าจะจบครับ

[B บ ....]

งง อ่ะครับ $sup_{n>m} \ A_m \ B_m $มันมีห้อย n>m m n ไรด้วยหรอ ไม่เคยเห็น นิยามในหนังสือ มัน ไม่มีอย่างนี้ พอดีเพิ่งเริ่มเรียนเรื่องนี้ครับ พิสูจน์ข้อนี้เป็นข้อแรก ยัง งงๆอยู่เลย -*- (ยังไม่กระจ่างเท่าไหร่เลย ว่า lim sup lim inf คืออะไร เหมือนมันเป็นลำดับของ sup ของเซตของลำดับ แล้วเทคลิมิต สู่ อินฟินิตี้หรอครับ -*- แค่ลำดับเฉยๆก็แย่ละ เฮ้อ พรุ้งนี้เช้าจะต้องส่งแล้วด้วย ก็คิดว่าคงตามเวรตามกรรม ไปก่อน T T ให้อาจารย์เทศน์ให้ฟังอีกรอบ )
ปล. ผมเปลี่ยนพิสูจน์(มั่วเอง รอบ 2 เป็น แบบนี้ครับ)
จากของเดิมนะครับ ไม่มีลำดับย่อยแล้ว เพราะ งง ลำดับย่อยเอง -*-
เลยจากบรรทัดต่อจาก บรรทัดต่อไปนี้
จะมี infinitely many $y_n \ such \ that \ y_n >= B-e/2$
ต่อจากนั้น เปลี่ยนเป็น อย่างนี้แทน
$Let \ N = \ max\{N_1,N_2\}$ so if $n_0 >= N \ then \ x_{n{_0}} + y_{n{_0}} >= A+B-e$
Because $y_n >= B-e/2$ are infinitely many so for all natural number N
there must be some $y_{n^*} >= b-e/2 \ for\ some \ n^* >=N$
so for all $n_0>= N$ $$Sup \{x_n + y_n|n>= n_0\} >= x_{n{_0}} + y_{n{_0}} >= A+B-e$$
*Hence lim sup $(x_n + y_n) >= A+B-e$ for all positive real number e
*It can be concluded that lim sup $(x_n + y_n) >= A+B $
ที่ * ไว้ คือ ลองวาดรูปคร่าวๆของลำดับ ดู แล้วสรุป(มั่วเอง) โดยไร้ทฤษฎีรองรับ ครับ -*- คาดว่าคงผิด
ขอบคุณ คุณ Analist มากๆๆครับ แต่พอดีมันไม่มีเวลาทำความเข้าใจวิธีที่แนะนำมาอ่ะครับ จะก็อปไปส่งก็กลัวเค้าถามแล้ว ตอบไม่ได้ T T
ถ้าส่งแล้วอาจารย์ให้แก้ไปส่งใหม่ จะลองทำความเข้าใจที่แนะนำมาดูครับ ถ้า งงมากๆ จะมาถามต่อครับ ขอบคุณมากๆๆๆ ครับ

[Anarist]

ดีแล้วครับ นิยามใหม่ๆต้องใช้เวลาคุ้นเคยกับมัน ถ้ามีตัวอย่างหรือหลายมุมมองมันก็จะช่วยด้วย
ที่ทำข้างบนนี่คร่าวๆแล้วถูกนะครับ แต่อาจต้องเกลาตรง quantifier นิดหน่อย

เริ่มแรกตรง * นี่เป็นข้อสรุปที่ถูกทั้งคู่ครับ อันแรกเป็นตามนิยาม
อันสองเป็นทริกสำคัญใน Analysis อย่างนึง Terrene Tao เรียกว่า give yourself a room of epsilon
คือเวลาจะพิสูจน์ $C \geq D $ ถ้าตรงๆไม่ได้ให้พิสูจน์ $C > D - \epsilon $ for all $\epsilon > 0$ แทน
(ลองคิดดูว่าทำไมมันก็ต่อเมื่อกัน)

ส่วนนิยาม lim sup มันคือดูหางของลำดับ ก็คือ $x_n $ ที่ $n > m$ เทค sup ของเซตนี้ แล้วก็เทคลิมิต $m \rightarrow \infty$
แนะนำให้ดูรูปบนวิกิ http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_s...limit_inferior
ลองทำความเข้าใจนิยามนี้กับนิยาม $\epsilon$ ดูนะครับ

[B บ ....]

ขอบคุณมากครับ ^ ^

[kongp]

คณิตศาสตร์ที่ขึ้นกับแนวโน้นในวิชาแคลคูลัสนี้ อาศัยความจำไม่น้อย ความรู้ทั้งตอนเริ่ม และ ความรู้ตอนสรุป แล้วแต่จะเปรียบเทียบกับอะไรก็ด้วย

ผมคิดว่าต้องเจอปัญหาจริงก่อน แล้วค่อยมาคิดตามกระบวนการของคณิตศาสตร์ แม้วิชาอื่นอย่างเคมี ฟิสิกส์จะเน้นผลสรุปเป็นขั้นๆ มากกว่า แต่สุดท้ายก็คงคล้ายๆ กัน ประโยชน์ก็อาจจะมีด้านตรงกันข้ามกันก็เป็นได้ ไม่ตรงกันก้เป็นได้


สูตรที่มีรูปลักษณะยุ่งยาก ซับซ้อน มักจะใช้คอมพิวเตอร์ช่วย/ใช้ คิดกัน