ข้อสอบ สอวน. ค่าย 1/51

[warutT]

สามเหลี่ยมด้านเท่า $ABC$ มีวงกลมล้อมรอบ ลากเส้นตรงจาก $A$ ตัด $BC$ พบเส้นรอบวงของวงกลมที่จุด $X$ ต่อ $XC$ และ $XB$ ที่จุด $C$ ทำมุม $ACP$ เท่ากับมุม $XAB$ พบ $AX$ ที่จุด $P$ จงพิสูจน์ว่า $\frac{AP}{PX}=\frac{BX}{XC}$

Hint:ใช้ประโยชน์จากสามเหลี่ยมคล้ายครับ

[winlose]

ข้อนี้ผมพิสูจน์ว่า$P$เป็นจุดศูนย์กลางอ่ะครับ

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

ข้อนี้ผมพิสูจน์ว่า$P$เป็นจุดศูนย์กลางอ่ะครับ

ก็ได้ครับ แต่ผลออกมาก็เหมือนกัน

[winlose]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

ก็ได้ครับ แต่ผลออกมาก็เหมือนกัน

ช่วยแสดงวิธีของคุณ warutT หน่อยได้ไหมครับ

[PalMCenTeR]

โจทย์นี้คุ้นๆๆๆ แต่ทำไม่ได้อ่า ช่วยบอกวิธีคิดหน่อยครับ

ช่วยบอกวิธีคิดของคูณ warutT ครับ

[winlose]

อีกข้อครับ
สามเหลี่ยม$ABC$มีวงกลมล้อมรอบ ที่จุด $A$ มี $PAQ$ เป็นเส้นสัมผัส ลาก $BX$ ขนานกับ $PAQ$ ไปพบ $AC$ ที่จุด $X$ ให้ $D$ และ $E$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $AB$ และ $AX$ จงพิสูจน์ว่า มุม$BDC=$ มุม$BEC$
hint:ลาก $DE$

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

ช่วยแสดงวิธีของคุณ warutT หน่อยได้ไหมครับ

เดี๋ยวสักครู่นะครับคุณ winlose

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

ช่วยแสดงวิธีของคุณ warutT หน่อยได้ไหมครับ

จากรูปจะได้ว่า รูปสามเหลี่ยม $APC$ คล้ายกับ รูปสามเหลี่ยม $BXC$
ดังนั้น $\frac{XC}{PC}=\frac{BX}{AP}$
$\frac{AP}{PC}=\frac{BX}{XC}$
จากรูป รูปสามเหลี่ยม $PXC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
แสดงว่า $PC=PX$
ดังนั้น $\frac{AP}{PX}=\frac{BX}{XC}$ จบการพิสูจน์

ปล.ขอโทษครับที่ทำให้รอนาน

[winlose]

โอ้ ขอบคุณครับ ง่ายกว่าวิธีผมเยอะ ว่าแต่คุณ warutT ใช้โปรแกรมอะไรวาดรูปอ่ะครับ
ปล.ข้อสองคุณ warutT ทำไงครับ เผื่อจะง่ายกว่าผมอีก

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

โอ้ ขอบคุณครับ ง่ายกว่าวิธีผมเยอะ ว่าแต่คุณ warutT ใช้โปรแกรมอะไรวาดรูปอ่ะครับ
ปล.ข้อสองคุณ warutT ทำไงครับ เผื่อจะง่ายกว่าผมอีก

ผมยังคิดข้อสองไม่ออกเลยครับตั้งแต่อยู่ห้องสอบแล้วครับ ส่วนเรื่องวาดอันนี้ผมออกมานอกบ้านเลยไม่ได้ใช้ GSP วาดครับใช้ paint ธรรมดาเลยครับ

[winlose]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

อีกข้อครับ
สามเหลี่ยม$ABC$มีวงกลมล้อมรอบ ที่จุด $A$ มี $PAQ$ เป็นเส้นสัมผัส ลาก $BX$ ขนานกับ $PAQ$ ไปพบ $AC$ ที่จุด $X$ ให้ $D$ และ $E$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $AB$ และ $AX$ จงพิสูจน์ว่า มุม$BDC=$ มุม$BEC$
hint:ลาก $DE$

งั้นลองดูวิธีผมนะครับ

จากรูป
ให้ มุม$PAB=x^\circ$ และ มุม$QAC=y^\circ$
ลาก $DE$ จะทำให้ได้ว่า $PQ$ขนานกับ$DE$ขนานกับ$BX$
มุม$BDE=(180-x)^\circ$ และมุม$DEC=(180-y)^\circ$
พิจารณา มุม$BDE$และมุม$BCE$
มุม$BDE+$มุม$BCE=180^\circ$
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า
มุม$DEC+$มุม$DBC=180^\circ$
ทำให้ได้ว่า สี่เหลี่ยม$BCED$สามารถแนบในวงกลมได้
จะได้ว่า มุม$BDC$และมุม$BEC$อยู่บนส่วนโค้งเดียวกันในวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยม$BCED$
ดังนั้น มุม$BDC=$มุม$BEC$
ปล.ขอบคุณคุณwarutTที่บอกเว็บอัพโหลดรูปให้ครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

ข้อนี้ผมพิสูจน์ว่า$P$เป็นจุดศูนย์กลางอ่ะครับ

จุด$P$ ไม่ได้เป็นจุดศูนย์กลางทุกกรณีอ่ะครับ (ลองดูรูป)

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

งั้นลองดูวิธีผมนะครับ

จากรูป
ให้ มุม$PAB=x^\circ$ และ มุม$QAC=y^\circ$
ลาก $DE$ จะทำให้ได้ว่า $PQ$ขนานกับ$DE$ขนานกับ$BX$
มุม$BDE=(180-x)^\circ$ และมุม$DEC=(180-y)^\circ$
พิจารณา มุม$BDE$และมุม$BCE$
มุม$BDE+$มุม$BCE=180^\circ$
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า
มุม$DEC+$มุม$DBC=180^\circ$
ทำให้ได้ว่า สี่เหลี่ยม$BCED$สามารถแนบในวงกลมได้
จะได้ว่า มุม$BDC$และมุม$BEC$อยู่บนส่วนโค้งเดียวกันในวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยม$BCED$
ดังนั้น มุม$BDC=$มุม$BEC$
ปล.ขอบคุณคุณwarutTที่บอกเว็บอัพโหลดรูปให้ครับ

เรื่องรูปครับ
เวลา upload แล้ว คุณ winlose ต้องคลิกไปที่รูปก่อนครับแล้วมันจะขึ้นรูปเต็มให้ แล้วค่อยก้อปปี้เว็บมาครับ