![]() |
#1
|
|||
|
|||
![]() 1.Prove that for $x,y\in R^k$
(a.) $\left\Vert\,x\right\Vert\not= 0$ with equality only when $x=0$. (b.) $\left\Vert\,\alpha x\right\Vert=\left|\,\alpha \right| \left\Vert\,x\right\Vert$ for all scalars $\alpha$. (c.) $\left\Vert\,x+y\right\Vert\leq \left\Vert\,x\right\Vert+\left\Vert\,y\right\Vert$ and $\left\Vert\,x-y\right\Vert\geq \left\Vert\,x\right\Vert-\left\Vert\,y\right\Vert$. (d.) $\left\Vert\,x\right\Vert\leq \sum_{i = 1}^{k} \left\Vert\,x_i\right\Vert$. (e.) $\left|\,x_i \right|\leq \left\Vert\,x\right\Vert\leq \sqrt{n}\left\Vert\,x_\infty \right\Vert$ for each $i=1,2,3,...,k$.
__________________
Mathematics is my mind 10 มิถุนายน 2007 16:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 9 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ kanji |
#2
|
||||
|
||||
![]() ไม่แน่ใจว่าเข้าใจโจทย์ผิดรึเปล่า แต่ให้แสดงว่า $\|x\| = 0 \; \Leftrightarrow \; x=0, \; \; \forall x \in \mathbb{R}^n$ ใช่รึเปล่าครับผม? ขอทำแบบนี้ละกัน
![]() (a) ($\Rightarrow$) Let $x\in \mathbb{R}^n$ with Euclidean norm. It is easy to show that \[ \|x\|^2 = x_1^2+x_2^2+...+x_n^2 = 0 \Rightarrow x_i = 0, \; \; \forall i\in \{1,2, ..., n\} \] ($\Leftarrow$) is obvious. (b) \[ \| \alpha \cdot x\| = \sqrt{(\alpha x_1)^2 + (\alpha x_2)^2+ ... +(\alpha x_n)^2} = |\alpha |\|x\| \] (c) To show triangle inequality for $x\in \mathbb{R}^n$, we have to use Cauchy-Swarchz inequality such as $|\langle x,y\rangle | \leq \|x\| \|y\| $ Hence, \[ \| x+y \|^2 = \|x\|^2+ 2\langle x,y\rangle + \|y\|^2 \leq (\|x\|+\|y\|)^2.\] The other inequality follows from the above result. Therefore, \[ \|x\| = \|x-y+y\| \leq \|x-y\| +\|y\|\] (e) It is clear that \[ x_i^2 \leq x_1^2+x_2^2+...+x_n^2 \leq n (\sup_{1\leq i \leq n}|x_i|)^2\] Hence, \[ |x_i| \leq \|x\| \leq \sqrt{n}\|x\|_{\infty}\]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 11 มิถุนายน 2007 16:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie เหตุผล: แก้ไขที่ผิดให้แล้วครับ |
#3
|
|||
|
|||
![]() 2.Let $x_n\in R$ and suppose that there is an $M\in R$ such that $\left|\,x\right|\leq M$ for $n\in N$. Prove that $s_n=sup\left\{\,x_n,x_{n+1},...\right\} $ defines a real number for each $n\in N$ and $s_1\geq s_2\geq ...$.
3.Give an example of a set of rational numbers which is bounded but does not have a rational supremum. 4.Give an example of a set of rational numbers that has a rational supremum.
__________________
Mathematics is my mind 10 มิถุนายน 2007 16:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ kanji |
#4
|
||||
|
||||
![]() 2. For each $n \in \mathbb{N}$, we have $s_{n+1}= \{ x_k : k\geq n+1\} \subset s_n=\{ x_k : k\geq n \}.$
Notice that if $A,B$ are above bounded sets such that $A\subseteq B$, then $\sup A \leq \sup B.$ This implies that ${\displaystyle s_n = \sup_{k\geq n}x_k }$ is a decreasing sequence as required. 3. By density theorem, we can find a sequence which converges to $\sqrt{2}$ Then we define a sequence of rational number such that \[ 1, \; \; 1.4, \; \; 1.41, \; \; 1.414, \; \; 1.414,\; \; 1.4142, \; \; 1.41421, ... \] We can see that supermum of this sequence is $\sqrt{2}$ which is not rational. 4. Choose $a_n = \frac{1}{n}$, then ${\displaystyle \sup_{n\in \mathbb{N}} a_n = 1 }$
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#5
|
|||
|
|||
![]() ข้อ e น่าจะเป็น $(suplx_il)^2$ ใช่ไหมครับ
__________________
Mathematics is my mind |
#6
|
||||
|
||||
![]() แก้ให้แล้วครับผม
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#7
|
|||
|
|||
![]() อีกชุด ครับ
1.Prove that $A$ is dense in $X$ if and only if $\overline{A} =X$. where $\overline{A} $ = closure of $A$. 2.Prove that $Q$ and $R-Q$ are dense in $R$. 3.A point $p$ is an element of $\overline{A}$ if and only if for every positive real number $r$, $N_r(p)\cap A\not= \emptyset $. 4.Prove that $X$ is connrcted if and only if $X$ has exactly two subsets which are both open and closed in $X$. 5.Let $X$ be any nonempty set and $d$ the discrete metric on $X$. Prove that every subset of $X$ is open and every subset is closed.
__________________
Mathematics is my mind 19 มิถุนายน 2007 16:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 9 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ kanji |
#8
|
|||
|
|||
![]() 2. HINT:
let y be arbitrary in R. Consider open neighborhood $(y- \epsilon, y+\epsilon)$ and using the fact that there's at least 1 rational number between any two real numbers. This proof follows from topological version of dense set. About the fact I claim above, It's good for future pure mathematician that you should prove before using. ![]() For irrational case, it follows similarly and adjust something. But if you hate topological version, you might use sequential version of dense set. For any arbitrary $a \in R$ , consider $ (a- \frac{1}{n}, a+\frac{1}{n}) $ for each n and applying the same fact. 5. HINT: Let $ a \in R_d $ , consider open ball radius 1 ,say, B[a;1] = {a} to conclude that every subset is open. For proving closed, it's automatically from theorem that complement of open set is closed set.
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#9
|
||||
|
||||
![]() ตรวจให้ด้วยนะคร้าบ พี่ๆน้องๆ ทั้งหลาย
1. $(\Rightarrow )$ Suppose $A$ is dense in $X$, then for any $\epsilon >0$ and any $x\in X$, there exists $a\in A$ such that $|x-a| < \epsilon$. Now, let $x\in X$. For any $n\in \mathbb{N}$, there is $a_n \in A$ such that $|a_n-x|<\frac{1}{n}$. Hence, $x\in \overline{A}$. This implies that $\overline{A}=X$ $(\Leftarrow )$ Suppose $\overline{A}=X$. Notice that if $x\in \overline{A}$, then there is a sequence $(a_n)$ which converges to $x$. Thus, for any $\epsilon > 0$ and $x\in X$, there is $a_{N} \in A$ such that $|a_{N} -x| < \epsilon$. This shows that $A$ is dense in $X$. 2. It follows from the density theorem of the real number. 3. เป็น Definition รึเปล่าครับ??
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#10
|
|||
|
|||
![]() 4. $(\Rightarrow)$ Suppose there is a clopen set $A\neq \emptyset,X$. What can you say about $X-A$ ?
$(\Leftarrow)$ Let $f:X\to D$ be a discrete valued map ($D$ has discrete topology). Pick any $c\in f(X)$. Then show that $f^{-1}(c)$ is nonempty closed and open in $X$. Conclude that $f$ is constant. Then use the fact that $X$ is connected iff any discrete valued map $f:X\to D$ is constant. For this part you can use the same argument as in the first part too. I just give you another way to prove that $X$ is connected. This approach is much easier in many situations. ![]()
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 20 มิถุนายน 2007 09:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#11
|
|||
|
|||
![]() ข้อ 3 ทำยังไงดีครับ
__________________
Mathematics is my mind |
#12
|
|||
|
|||
![]() ข้อสามควรบอกนิยามของ closure มาก่อนครับ เพราะมีการใช้สิ่งที่เราต้องการพิสูจน์เป็นนิยามในหนังสือบางเล่มครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#13
|
|||
|
|||
![]() Definition :
If $X$ is a metric space, if $A\subseteq X$, and if $A'$ denotes the set of all limit points of $A$ in $X$, then the closure of $A$ is the set $\bar A= A \cup A'$.
__________________
Mathematics is my mind 24 มิถุนายน 2007 22:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ kanji |
#14
|
|||
|
|||
![]() 3. $(\Rightarrow)$ Consider two cases.
I. $p\in A$. Obvious. II. $p\in A'$. Follow directly from definition of a limit point. $(\Leftarrow)$. Suppose $p\not\in A$. Then use this assumption to show that $p$ is a limit point of $A$.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#15
|
||||
|
||||
![]()
ช่วยขยาย Hint ให้อีกสักหน่อยได้ไหมครับ พอดีทำแล้วยังคิดไม่ออก
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ช่วยทำข้อสอบ analysisของจุฬาให้หน่อยครับ | mayalone | Calculus and Analysis | 6 | 28 กันยายน 2006 06:43 |
numerical analysis 2 | natto | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 0 | 22 กันยายน 2006 16:53 |
โจทย์ real analysis เบื้องต้นรบกวนด้วยครับ | rigor | Calculus and Analysis | 5 | 06 ธันวาคม 2005 21:16 |
หลักการของการ analysis | PaoBunJin | Calculus and Analysis | 5 | 14 ตุลาคม 2005 09:01 |
math analysis | kanji | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 3 | 15 พฤศจิกายน 2004 23:30 |
|
|