Sequence

[Ne[S]zA]

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับ $1,3,7,13,21,...$
เมื่อดูรูปที่แนบมานะครับ จะหาผลต่างจนกว่าจะคงที่(ในที่นี้คือ 2)
ซึ่งต้องหาผลต่าง 2 ครั้งจึงจะได้ค่าคงที่
แล้วจึงสมมติให้ $a_n=an^2+bn+c$
ซึ่งเมื่อแก้ออกมา ได้ $a_n=n^2-n+1$ ซึ่งเป็นจริง
คำถามคือ ทำไมต้องสมมติว่า $a_n=an^2+bn+c$

[No.Name]

คิดแบบเด็กประถมละกันครับ(เพราะมีความรู้แค่นี้ )

$1,3,7,13,21...$ เมื่อพิจารณาแล้วมันจะเพิ่ม $2,4,6,...$

เมื่อถึงพจน์ที่ n ลำดับที่มันเพิ่มขึ้นจะมี n-1 พจน์

เราเก็บ 1 ไว้ก่อน $2+4+6+...2(n-1)=2\frac{(1+2+3...+(n-1))}{2}=(n-1)n$

ทีนี้เราก็เอา 1 มาบวกอีกทีได้ $n^2-n+1$

[Ne[S]zA]

ช่วยขยายความในกรอบสีฟ้าและสีแดงหน่อยครับ เขาบอกว่าถ้าเรียน Calculus ก็จะอธิบายได้ ช่วยบอกหน่อยครับว่า ความรู้เรื่องอะไรใน Calculus หรอครับ

[-InnoXenT-]

ถ้าจำไม่ผิด มันจะมีสูตร หาแบบนี้ครับ

$$a_n = \sum_{k=0}^{\infty}a_k\binom{n-1}{k}$$

เมื่อ $a_k$ คือ ผลต่างร่วม

จากตัวอย่างที่ให้มา จะได้ $a_0 = 1 ,a_1 = 2$ และ $a_2 = 2$ นอกนั้นมีค่าเท่ากับ $0$ ทั้งหมด

เมื่อพิจารณาจากสูตรลำดับเลขคณิตที่มี ผลต่างร่วมเท่ากับ $d$ ก็จะมาจากสูตรนี้เช่นเดียวกัน

เพราะ เมื่อลบกันแล้ว จะได้ค่า $a_1 = d$ และ $a_0$คือค่าเริ่มต้น
ก็จะกลายเป็น $a_n = a_0 + (n-1)a_1$ เขียนให้ดูง่ายขึ้น เพื่อความเข้าใจง่ายก็จะกลายเป็น $a_n = a_1+(n-1)d$ ครับ

[Ne[S]zA]

อ่า ขอบคุณครับครับ แต่เหมือนยังไม่ทราบว่าทำไมถึงใช้สมการกำลังสองนั่นหาอยู่ดีครับ แต่ก็ขอบคุณครับ
$a_k$ เป็นผลต่างร่วม แล้ว k คืออะไรหรอครับ ผลต่างร่วมครั้งที่ k หรือเปล่า??

[หยินหยาง]

#3
เรื่องอนุพันธ์ ครับ

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

อ่า ขอบคุณครับครับ แต่เหมือนยังไม่ทราบว่าทำไมถึงใช้สมการกำลังสองนั่นหาอยู่ดีครับ แต่ก็ขอบคุณครับ
$a_k$ เป็นผลต่างร่วม แล้ว k คืออะไรหรอครับ ผลต่างร่วมครั้งที่ k หรือเปล่า??

คำถามแรกนะครับ ที่ใช้สมการกำลังสองหานั้น ก็เพราะว่า จากสูตรที่ให้ไป ที่ #4 นั้น ทำให้เกิดสมการกำลังสองครับ

คำถามที่สอง
$a_k$ คือผลต่างร่วม ค่าแรก ครั้งที่ $k$ ครับ ยกตัวอย่างเช่น

กำหนดลำดับ
$3,9,16,26,41,63,94,136,...$

หาค่าผลต่างร่วมลงไปเรื่อยๆ ชุดแรกจะได้
ครั้งที่ 1
$6,7,10,15,22,31,42,...$
ครั้งที่ 2
$1,3,5,7,9,11,...$
ครั้งที่ 3
$2,2,2,2,...$

ดังนั้น $a_0 = 3, a_1 = 6,a_2=1,a_3=2$ ครับ

เมื่อหาต่อไป ก็จะได้ลำดับ

$a_n = 3+6(n-1)+\frac{1}{2}(n-1)(n-2)+\frac{1}{6}(n-1)(n-2)(n-3) = \frac{n^3}{6}-\frac{n^2}{2}+\frac{19n}{3}-3$

[poper]

http://www.mathcenter.net/forum/show...t=11094&page=9
# 131 เป็นการพิสูจน์แบบนึงครับว่าทำไมถึงเป็นพหุนามกำลังสอง

[gon]

ไม่ต้องเรียนแคลคูลัสก็ได้ครับ พีชคณิตธรรมดา โดยถ้าเราสมมติว่าเป็นพหุนามกำลังสองในรูป $f(n) = an^2+bn+c$

จากฟังก์ชันนี้จะได้ว่า $f(n+1)-f(n)=a(2n+1)+b$ ซึ่งเป็นหุนามกำลังหนึ่ง หรือเป็นลำดับเลขคณิตนั่นเอง

ซึ่งถ้าให้ $g(n) = a(2n+1)+b$ แล้วจะได้ $g(n+1)- g(n) = 2a$ ซึ่งเป็นค่าคงตัว

นั่นก็คือ ถ้าเป็นพหุนามกำลังสอง แล้วผลต่างของพจน์ที่ติดกันจะได้ลำดับคงตัวครั้งแรกเมื่อลบกัน 2 ครั้ง

สำหรับกรณีพหุนามกำลังสามขึ้นไป ก็ทำได้ในทำนองเดียวกันครับ.

[Ne[S]zA]

ขอบคุณทุกความเห็นมากครับ