โจทย์เรื่องการนับ(มีหลักการคิดอย่างไร)

[สๅEaมllx'JควๅมxวัJ]

๑.ซองจดหมายเปล่าๆ ๔ ซอง นำไปใส่ในตู้จดหมาย ๓ ตู้ จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี
๒.แบ่งซองจดหมายเปล่าๆ ๔ ซอง ออกเป็น ๓ กอง โดยที่แต่ละกองจะมีซองจดหมายเปล่าๆอยู่อย่างน้อย ๑ ซอง จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี
๓.แบ่งซองจดหมายเปล่าๆ ๒๘ ซอง ออกเป็น ๓ กอง โดยที่แต่ละกองจะมีซองจดหมายเปล่าๆอยู่อย่างน้อย ๑ ซอง จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี
๔.แบ่งซองจดหมายเปล่าๆ ๒๘ ซอง ให้เด็ก ๓ คน โดยที่แต่ละคนจะได้รับซองจดหมายเปล่าๆอยู่อย่างน้อย ๑ ซอง จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี
๕.แบ่งลูกบอล ๒๘ ลูก ซึ่งมีหมายเลขกำกับไว้ ให้เด็ก ๓ คน จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี

อยากทราบแนวคิดของแต่ละท่านว่าคิดและทำอย่างไรครับ ขอความกรุณาด้วยครับ

[Love math]

1. 4x3x2
ตู้แรก ใส่ได้ 4 ซอง
ตู้สอง ใส่ได้ 3 ซอง
ตู้สาม ใส่ได้ 2 ซอง
2.ไม่แน่ใจนะ. น่าจะเรื่องจัดของซ้ำ
ได้ $\frac{4!} {1!2!1!}$
เรียงของ 4!
ต่อมา ของซ้ำ(ไม่เอาลำดับ) หารออก 2!1!1!
(มีแค่1กรณี คือแบ่งของเป็น 1,1,2 เพราะโจทย์บอกว่าอย่างน้อย1อย่าง คือถ้าไม่มีก็ไม่ใช่กอง)

[FranceZii Siriseth]

2.สอดคล้องกับผลเฉลยของสมการ $x_{1}+x_{2}+x_{3}=4 , x_{i} \ge 1$
ตอบ $\binom {4-1}{3-1}$
3.สอดคล้องกับผลเฉลยของสมการ $x_{1}+x_{2}+x_{3}=28 , x_{i} \ge 1$
ตอบ $\binom {28-1}{3-1}$

[FranceZii Siriseth]

5.เหมือนกับการสร้างฟังก์ชั่นทั่วถึง $f:A \rightarrow B$ โดยที่ $\mid a \mid =28 , \mid b \mid =3$
ตอบ $\binom{3}{0}3^{28}-\binom{3}{1}2^{28}+\binom{3}{2}1^{28}$

[Love math]

ขอบคุณมากครับ ได้แนวคิดเยอะเลย

[สๅEaมllx'JควๅมxวัJ]

ไม่ทราบว่าหลักการที่นำมาคิดเรียกว่าอะไรเหรอครับ ต้องไปอ่านเรื่องไหนครับ แนะนำผมหน่อย -.,-

[FranceZii Siriseth]

จำนวนผลเฉลยของสมการ , ความจริงมันจะสอดคล้องกับ generating function ด้วยครับ ลองอ่าน generating function ดูก่อนครับ

[Amankris]

ระวังจะพากันเข้าป่าลึกนะครับ

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ระวังจะพากันเข้าป่าลึกนะครับ

ผมหลงมาจนนับปกติไม่ค่อยถูกละครับ 555

[Thamma]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ สๅEaมllx'JควๅมxวัJ

ไม่ทราบว่าหลักการที่นำมาคิดเรียกว่าอะไรเหรอครับ ต้องไปอ่านเรื่องไหนครับ แนะนำผมหน่อย -.,-

จะอ่านเรื่องการแจกสิ่งของ ( Distribution ) ก็ได้นะคะ


๔.แบ่งซองจดหมายเปล่าๆ ๒๘ ซอง ให้เด็ก ๓ คน โดยที่แต่ละคนจะได้รับซองจดหมายเปล่าๆอยู่อย่างน้อย ๑ ซอง จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี

$ A(x) = (x+x^2+x^3 + ...)^3 = x^3 \sum_{r=0}^{\infty} \binom {r+n-1}{r} x^r $

จำนวนวิธี = $ \binom {25+3-1}{25} $

ตอบ $ \binom {27}{2} $

๕.แบ่งลูกบอล ๒๘ ลูก ซึ่งมีหมายเลขกำกับไว้ ให้เด็ก ๓ คน จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี

จำนวนวิธี =$ \binom {r+n-1}{r} r! = \binom {28+3-1}{28} 28! $

ตอบ $ \binom {30}{2} 28! $

ไม่แน่ใจว่าจะพาไปอีกป่าหนึ่งหรือเปล่านะ
แต่ไม่เป็นไร กระทู้นี้มี GPS

[Aquila]

พยายามใช้วิธีไม่เกินม.ปลายดีกว่าครับ

อย่าเพิ่งไปพูดเรื่อง bino gen bi ในกระทู้ม.ปลายเลยครับ

แนะนำว่ามองไปที่วิธีพื้นฐานก่อนดีกว่า

ลองศึกษา stars and bars ดูครับ

หรือไว้ให้ท่านอื่นอธิบายก็ได้ครับ

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth

5.เหมือนกับการสร้างฟังก์ชั่นทั่วถึง $f:A \rightarrow B$ โดยที่ $\mid a \mid =28 , \mid b \mid =3$
ตอบ $\binom{3}{0}3^{28}-\binom{3}{1}2^{28}+\binom{3}{2}1^{28}$

เหมือนผมจะอ่านข้อ 5 ปนกับ ข้อ 4
อันนี้เป็นแจกลูกบอลต่างที่มีหมายเลขกำกับให้เด็ก 3 คน โดยที่ทุกคนได้ลูกบอลอย่างน้อย 1 ลูก

[pont494]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Love math

1. 4x3x2
ตู้แรก ใส่ได้ 4 ซอง
ตู้สอง ใส่ได้ 3 ซอง
ตู้สาม ใส่ได้ 2 ซอง

ข้อแรกต้องตอบ 15 วิธีนะครับ
ใช้ star and bar ก้ได้ครับ ได้ $\binom{4+2}{2} = 15$ วิธี
ผมไล่ให้ดูเลยละกัน
(4,0,0),(3,1,0),(3,0,1),(2,2,0),(2,1,1),(2,0,2)
(1,3,0),(1,2,1),(1,1,2),(1,0,3),(0,4,0),(0,3,1)
(0,2,2),(0,1,3),(0,0,4)

[narongratp]

ขอถามเพิ่มเติมครับ (เห็นว่าอยู่ในเรื่องคล้ายๆกัน)

ถ้ามีของสี่อย่างแตกต่างกัน A B C D จัดทั้งหมดลงกล่อง 2 กล่อง "1" "2" แต่ละกล่องมีของอย่างน้อย 1 อย่าง ได้กี่วิธี

แนวคิดผมนะครับ
แบ่งได้เป็น 1-3 ได้ 4 วิธี จัดลงกล่องได้อีก 2 วิธี = 8
แบ่งได้เป็น 2-2 ได้ 3 วิธี จัดลงกล่องได้อีก 2 วิธี = 6
รวมเป็น 14 วิธี

ถ้ามีจำนวนเยอะๆ มีวิธีคิดอย่างไรครับ

[Love math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

ข้อแรกต้องตอบ 15 วิธีนะครับ
ใช้ star and bar ก้ได้ครับ ได้ \binom{4+2}{2} = 15 วิธี
ผมไล่ให้ดูเลยละกัน
(4,0,0),(3,1,0),(3,0,1),(2,2,0),(2,1,1),(2,0,2)
(1,3,0),(1,2,1),(1,1,2),(1,0,3),(0,4,0),(0,3,1)
(0,2,2),(0,1,3),(0,0,4)

โอเคครับ ผมลืม วิธีนี้มานานแล้ว ตอนนี้นึกออก
ขอบคุณครับ