พหุนามครับ

[napong]

จงหาพหุนาม P(x) ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนจริงซึ่ง (X+10)P(2X)=(8x-32)P(x+6) และ P(1)=210

[Suwiwat B]

ถ้าคิดอะไรไม่ออก ให้ลองวิ่งไปที่รูปแบบสำเร็จรูปของพหุนามก่อนเลยครับ ทำตรงๆ ก็ออกเหมือนกันแต่ออกแรงหน่อย .. สำหรับผมถ้าเป็นพหุนามสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงผมจะลองทำแบบนี้ครับ

1. หาก่อนว่า กำลังสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $P(x)$ เป็นเท่าไร
ให้ $P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + ...+a_1x^1 + a_0$
แทน $x$ ด้วย $2x$ และแทน $x$ ด้วย $x+6$ นำสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่กำลังสูงที่สุดมาดู นั่นคือ $x^{n+1}$
จะได้ว่า $2^n = 8$ ทำให้ได้ออกมาเลยว่า $n=3$

2. เรารู็แล้วว่าพหุนามนี้มีกำลังเป็น 3 หมายความว่าจะมีรากได้สูงสุดที่ 3 รากนั่นเอง ทีนี้ด้วยความที่เรานึกถึงว่าถ้า $P(a) = 0$ แล้วเราจะได้ว่า $a$ เป็นรากของพหุนาม $P(x)$ เราจะพยายามทำยังไงก็ได้ให้เราเสกเลข $0$ ออกมาจากทั้งสองข้าง

แทน $x=-10$ จะได้ $0 = -112P(-4)$ จะได้ $P(-4)=0$ นั่นคือ $-4$ เป็นรากของ $P(x)$
แทน $x=4$ จะได้ $14P(8) = 0$ จะได้ $P(8)=0$ นั่นคือ $8$ เป็นรากของ $P(x)$

หมายความว่าเราขาดอีกรากเดียว เราจึงกำหนดให้พหุนาม $P(x) = a(x+4)(x-8)(x-k)$

เป้าหมายของเราคือหา k ให้เจอ โดยการแทนลงไปในโจทย์ คงไม่ยากแล้วละครับ จะได้ $k=4$

คงไปต่อได้แล้วนะครับ

[napong]

ผมงงตรงแทน x ด้วยx+2และแทนxด้วยx+6 แล้วดูสัมประสิทธิ์พจน์กําลังสูงสุด ได้ n=3 อ่ะครับ

[NaPrai]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ napong

ผมงงตรงแทน x ด้วยx+2และแทนxด้วยx+6 แล้วดูสัมประสิทธิ์พจน์กําลังสูงสุด ได้ n=3 อ่ะครับ

จาก $(x+10)P(2x)=(8x-32)P(x+6)$

$(x+10)(a_n(2x)^n+a_{n-1}(2x)^{n-1}+...+ a_0)=(8x-32)(a_n(x+6)^n+a_{n-1}(x+6)^{n-1}+...+ a_0)$

$\Rightarrow 2^nx^{n+1}+b_nx^n+...+b_0=8x^{n+1}+b_nx^n+...+b_0$

ทีนี้ จากสัมประสิทธิ์ของแต่ละตัวต้องเท่ากัน (แต่ในที่นี่ดูแต่ตัวหน้าสุดก็พอครับ ) ได้ว่า

$2^n=8 \Rightarrow \boxed{n=3}$