ข้อสอบแข่งขันสิรินธร 2558

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ทยอยเอาลงนะครับ ช่วยกันเฉลยหน่อยนะครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อต่อไปครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ต่อครับ รบกวนเฉลยด้วยนะครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อสุดท้ายหน้านี้ครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ไม่มีใครเล่นด้วย
เหมือนผมเป็นคนบ้า ถามเองตอบเองซะงั้น
ข้อ 12.
ใช้สมการแรก คูณ $C$ ข้างหลัง ทั้งสองข้างได้ $BAC$ และแทนเข้าไปในตัวโจทย์ แยกตัวประกอบได้
$det(B+A)det(I_n+c^2) = 2 \times 4=8$
รบกวนข้ออื่นด้วยนะครับ

[Thgx0312555]

12. ติดอยู่ทีว่า $\det (A^2-B^2) =\det (A - B) \det (A+B)$ มั้ยนิแหละ

ข้ออื่นก็ไม่ยาก ลอง hint ให้ดู

13.

$p(x)=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$
สูตรผลบวก/ผลคูณราก

14.

$\dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\ge\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$

15.

จัดให้อยู่ในรูป $\displaystyle \int^{\frac{1}{n}}_{\frac{1}{n+1}} f(x) dx = m \dfrac{1}{n^3(n+1)^3}$

16. วาดกราฟเป็นก็ทำได้

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อ 14 ที่ Hint มามากครับ

ให้ $S_1= 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{119}}$

หา $ S_1$ได้ ก็หา $S_2= 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{59}}$ โดยสังเกตว่า $S_1- \dfrac{1}{\sqrt{2}} S_2$ คือค่าที่เราจะหา

แล้วใช้วิธี bound ตาม Hint
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
15. ผมใช้อันนี้ได้มั้ยครับ http://https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/defintdirectory/DefInt.html
แล้วก็ integrate ปกติเลยอคะรับ

ถูกมั้ยครับพี่ Thgx0312555

[Thgx0312555]

14. ลืมไปว่าโจทย์มันข้ามทีละสองในกรณีนี้ใช้ bound นี้จะง่ายกว่าครับ

$\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}} \le \dfrac{1}{2\sqrt{2n+1}} \le \dfrac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+2}}$

bound แบบนั้นก็น่าจะได้อยู่มั้ง แต่ตัวเลขอาจจะไม่สวย

15. ลิงค์ที่ให้มาน่าจะคนละความหมายนะ อันนั้นเป็นคล้ายๆนิยามของอินทิเกรต
แต่ข้อนี้ใช้วิธีธรรมดาก็ออกครับ ใช้การหาอินทิเกรตสำหรับฟังก์ชันที่อยู่ในรูปช่วง

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

14. ลืมไปว่าโจทย์มันข้ามทีละสองในกรณีนี้ใช้ bound นี้จะง่ายกว่าครับ

$\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}} \le \dfrac{1}{2\sqrt{2n+1}} \le \dfrac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+2}}$

bound แบบนั้นก็น่าจะได้อยู่มั้ง แต่ตัวเลขอาจจะไม่สวย

15. ลิงค์ที่ให้มาน่าจะคนละความหมายนะ อันนั้นเป็นคล้ายๆนิยามของอินทิเกรต
แต่ข้อนี้ใช้วิธีธรรมดาก็ออกครับ ใช้การหาอินทิเกรตสำหรับฟังก์ชันที่อยู่ในรูปช่วง

14. OK ละครับ
15. คือตาม Link นี่คือเปลี่ยน $\displaystyle \int $ เป็น$\displaystyle \sum$ แล้วแบ่งช่วงตามที่พี่ว่า
แล้วก็อินทิเกรตเทียบสัมประสิทธิ์ได้เลยมั้ยครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

จัดให้อยู่ในรูป $\displaystyle \int^{\frac{1}{n}}_{\frac{1}{n+1}} f(x) dx = m \dfrac{1}{n^3(n+1)^3}$

อย่างที่บอกใน hint แรก แบ่งช่วง integrate เป็นช่วง $[\dfrac{1}{n+1},\dfrac{1}{n}]$
แล้วลองจัด $\displaystyle \int^{\frac{1}{n}}_{\frac{1}{n+1}} f(x) dx$ ให้อยู่ในรูป $m \dfrac{1}{n^3(n+1)^3}$ ดู

จะเรียกว่าเทียบสัมประสิทธิ์ก็คงได้มั้ง

**ในลิงค์ที่ให้มาเป็น riemann sum คนละความหมายกับการแบ่งช่วงอินทิเกรตนะ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

อย่างที่บอกใน hint แรก แบ่งช่วง integrate เป็นช่วง $[\dfrac{1}{n+1},\dfrac{1}{n}]$
แล้วลองจัด $\displaystyle \int^{\frac{1}{n}}_{\frac{1}{n+1}} f(x) dx$ ให้อยู่ในรูป $m \dfrac{1}{n^3(n+1)^3}$ ดู

จะเรียกว่าเทียบสัมประสิทธิ์ก็คงได้มั้ง

**ในลิงค์ที่ให้มาเป็น riemann sum คนละความหมายกับการแบ่งช่วงอินทิเกรตนะ

โอเคครับ ผมขอเพิ่มโจทย์ต่อนะครับ

[Thgx0312555]

ข้อนี้ล้ำแฮะ ค่อนข้างต้องทำหลายขั้นหน่อย ถ้าให้แนะนำก็ลองดิฟตัวพวกนี้ดู
$\dfrac{1}{F_1(x)},F_1(x)F_2(x)$
อีกอย่างหนึ่งคือสังเกตว่า
$F_1(x)-F_2(x)=c$ for all $x$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ข้อนี้ล้ำแฮะ ค่อนข้างต้องทำหลายขั้นหน่อย ถ้าให้แนะนำก็ลองดิฟตัวพวกนี้ดู
$\dfrac{1}{F_1(x)},F_1(x)F_2(x)$
อีกอย่างหนึ่งคือสังเกตว่า
$F_1(x)-F_2(x)=c$ for all $x$

ที่พี่ Hint มา ผมได้ละว่า

ก) ถูกแน่ๆ

(ข) สมมูลกับ $\displaystyle c= \sqrt{2}$ แต่ข้อมูลที่ให้ได้ $\displaystyle c=1$ เลยผิดไปครับ

(ค) สมมูลกับ $ck=F_1(0)F_2(1)-F_1(1)F_2(0)$

แทน $ F_1(0) =c_1,F_2(0)=c_2$ โดย $c_1-c_2=c$ และ $F_1(1) =k+c_1,F_2(1)=k+c_2$

ซึ่งจริงเสมอไป

ถูกมั้ยครับ

[Thgx0312555]

ข้อ ค. ได้ไม่ตรงกับผมนะครับ ข้ออื่นถูกแล้ว
แต่ข้อสอบสิรินธรปีนี้ดูแต่งอาร์ทดีครับ 555

สำหรับข้อใหม่ที่อัพให้ สิ่งที่ยากกว่าการทำโจทย์น่าจะเป็นการอ่านโจทย์ ดังนั้น Hint ที่ให้จะเป็นการอธิบายโจทย์ใหม่ให้ฟังแทนละกัน

1) $\Omega$ เป็นเซตของฟังก์ชัน $u(x)$ ซึ่ง $x \in Y \rightarrow u(x) \not\in Y$ และ $x \not\in Y \rightarrow u(x) \in Y$
2) ส่วน $h(x)$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $x \in Y \rightarrow h(x)=7$ และ $x \not\in Y \rightarrow h(x)=1$

ต่อมาโจทย์ให้หาจำนวนฟังก์ชัน $f \in \Omega$ ทั้งหมดซึ่ง $\exists g \in \Omega, f(h(g(h(f(x)))))=f(x)$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ข้อ ค. ได้ไม่ตรงกับผมนะครับ ข้ออื่นถูกแล้ว
แต่ข้อสอบสิรินธรปีนี้ดูแต่งอาร์ทดีครับ 555

สำหรับข้อใหม่ที่อัพให้ สิ่งที่ยากกว่าการทำโจทย์น่าจะเป็นการอ่านโจทย์ ดังนั้น Hint ที่ให้จะเป็นการอธิบายโจทย์ใหม่ให้ฟังแทนละกัน

1) $\Omega$ เป็นเซตของฟังก์ชัน $u(x)$ ซึ่ง $x \in Y \rightarrow u(x) \not\in Y$ และ $x \not\in Y \rightarrow u(x) \in Y$
2) ส่วน $h(x)$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $x \in Y \rightarrow h(x)=7$ และ $x \not\in Y \rightarrow h(x)=1$

ต่อมาโจทย์ให้หาจำนวนฟังก์ชัน $f \in \Omega$ ทั้งหมดซึ่ง $\exists g \in \Omega, f(h(g(h(f(x)))))=f(x)$

หมายความว่า $g$ จะเลือกส่งไปไหนก็ได้หรอครับ ตกลงมันเป็นโจทย์คอมบิมั้ยครับ