ถามเรื่องอินทิเกรตฟังก์ชั่นตรีโกณยกกำลังคับ

[nattaphon]

จงหาค่าอินทิกรัล $\displaystyle{\int\tan^3x\sin^2xdx}$

$$\begin{array}{rcl}
\displaystyle{\int\tan^3x\sin^2xdx} & = & \displaystyle{\int\tan^3x(1 - \cos^2x)}dx \\
& = & \displaystyle{\int\tan^3x}dx - \displaystyle{\int\tan^3x\cos^2x}dx \\
& = & \displaystyle{\int\tan^3x}dx - \displaystyle{\int\tan^3x\cos^2x}dx \\
& = & \displaystyle{\int\tan^3x}dx - \displaystyle{\int\frac{\sin^3x\cos^2x}{\cos^3x}}dx \\
& = & \displaystyle{\int\tan^3x}dx - \displaystyle{\int\frac{\sin^3x}{\cos x}}dx \\
& = & \displaystyle{\int\tan^3x}dx + \displaystyle{\int\frac{\sin^2x}{\cos x}}d(\cos x) \\
& = & \displaystyle{\int\tan^3x}dx + \displaystyle{\int\frac{(1 - \cos^2x)}{\cos x}}d(\cos x) \\
& = & \displaystyle{\int\tan^3x}dx + \displaystyle{\int\frac{1}{\cos x}}d(\cos x) - \displaystyle{\int\cos x}d(\cos x) \\
& = & \displaystyle{\int\tan^3x}dx + \displaystyle{\ln|\cos x| - \frac{\cos^2x}{2} + c} \\
\end{array}$$

ทำแล้วยังติด $\tan^3x$ อยู่เรยคับ นึกไม่ออก อ่าคับ

แล้วก็มีใครช่วยสรุป เนื้อหาตรงส่วนนี้ แบบสั้นๆจะดีมากเรยคับ

ขอบคุณล่วงหน้าคับ

[mercedesbenz]

เนื่องจาก $\tan^2=\sec^2-1$
ดังนั้น $\int \tan^{3}xdx=\int \tan^{2}x\tan x dx=\int(sec^{2}-1)\tan x dx=\int \sec^{2}x\tan x dx-\int \tan xdx$

ก้อนแรก ให้ $u=\tan x$
ก้อนสอง น่าจะคุ้นๆไหมครับ

[nattaphon]

ไปต่อได้แล้วคับขอบคุณมากคับ

[Onasdi]

ทำได้อีกแบบนึงครับ
$$\begin{array}{rcl}
\displaystyle{\int\tan^3x\sin^2xdx} & = & \displaystyle{\int\frac{\sin^5x}{\cos^3x}}dx \\
& = & \displaystyle{-\int\frac{\sin^4x}{\cos^3x}}d(\cos x) \\
& = & \displaystyle{-\int\frac{(1-u^2)^2}{u^3}}du \\
\end{array}$$

[nattaphon]

วิธีทำที่ 1
$$\begin{array}{rcl}
\displaystyle{\int\tan^3x\sin^2x\ dx} & = & \displaystyle{\int\tan^3x(1 - \cos^2x)}\ dx \\
& = & \displaystyle{\int\tan^3x}\ dx - \displaystyle{\int\tan^3x\cos^2x}\ dx \\
\textrm{พิจารณา} \quad\displaystyle{\int\tan^3x}\ dx & = & \displaystyle{\int\tan^2x\tan x}\ dx \\
& = & \displaystyle{\int(\sec^2x - 1)\tan x}\ dx \\
& = & \displaystyle{\int\sec^2x\tan x}\ dx - \displaystyle{\int\tan x}\ dx \\
& = & \displaystyle{\int\tan x}\ d(\tan x) - \displaystyle{\int\tan x}\ dx \quad\therefore(\frac{d}{dx}\tan u = \sec^2u\ \frac{du}{dx}) \\
& = & \displaystyle{\frac{\tan^2x}{2}} - \displaystyle{\ln|\sec x|} \\
\textrm{พิจารณา} \quad\displaystyle{-\int\tan^3x\cos^2x}\ dx & = & \displaystyle{-\int\frac{\sin^3x\cos^2x}{\cos^3x}}\ dx \\
& = & -\displaystyle{\int\frac{\sin^3x}{\cos x}}\ dx \\
& = & -\displaystyle{\int\frac{\sin^2x\sin x}{\cos x}}\ dx \\
& = & \displaystyle{\int\frac{\sin^2x}{\cos x}}\ d(\cos x) \quad\therefore(\frac{d}{dx}\cos u = -\sin u\ \frac{du}{dx}) \\
& = & \displaystyle{\int\frac{(1 - \cos^2x)}{\cos x}}\ d(\cos x) \\
& = & \displaystyle{\int\frac{1}{\cos x}}\ d(\cos x) - \displaystyle{\int\cos x}\ d(\cos x) \\
& = & \displaystyle{\ln|\cos x| - \frac{\cos^2x}{2}} \\
\therefore\quad\displaystyle{\int\tan^3x\sin^2x\ dx} & = & \displaystyle{\frac{\tan^2x}{2}} - \displaystyle{\ln|\sec x|} + \displaystyle{\ln|\cos x| - \frac{\cos^2x}{2}} + c \\*[2mm]
\end{array}$$

\newpage
วิธีทำที่2

$$\begin{array}{rcl}
\displaystyle{\int\tan^3x\sin^2xdx} & = & \displaystyle{\int\frac{\sin^5x}{\cos^3x}}\ dx \\
& = & \displaystyle{-\int\frac{\sin^4x}{\cos^3x}}\ d(\cos x) \\
& = & \displaystyle{-\int\frac{(1-u^2)^2}{u^3}}\ du \\
& = & \displaystyle{-\int\frac{1-2u^2+u^4}{u^3}}\ du \\
& = & \displaystyle{-\int\frac{1}{u^3}}\ du + 2\displaystyle{\int\frac{u^2}{u^3}}\ du \displaystyle{-\int\frac{u^4}{u^3}}\ du \\
& = & \displaystyle{\frac{u^{-2}}{2}} + \displaystyle{2\ln|u|} - \displaystyle{\frac{u^2}{2}} + c \\
& = & \displaystyle{\frac{\cos^{-2}x}{2}} + \displaystyle{2\ln|\cos x|} - \displaystyle{\frac{\cos^2x}{2}} + c \\
& = & \displaystyle{\frac{\sec^2x}{2}} + \displaystyle{2\ln|\cos x|} - \displaystyle{\frac{\cos^2x}{2}} + c \\
\end{array}$$
\end{document}

ปัญหาเกิดเรยคับ อันไหนถูกกันแน่ หรือว่า ถูกทั้งคู่ คับ

[gnopy]

การอินทิเกรต สามารถอินทิเกรตออกมาในรูปที่แตกต่างกันได้ครับ คือใช้วิธีการอินทิเกรต ต่างกัน แต่คำตอบถูกต้องเหมือนกันครับ

[Onasdi]

สมมติว่าอินทิเกรตวิธีแรกได้ f(x) วิธีที่สองได้ g(x) จะได้ว่า f(x)-g(x) ต้องเป็นค่าคงที่ครับ

$f(x)=\displaystyle{\frac{\tan^2x}{2}} - \displaystyle{\ln|\sec x|} + \displaystyle{\ln|\cos x| - \frac{\cos^2x}{2}}$
$g(x)=\displaystyle{\frac{\sec^2x}{2}} + \displaystyle{2\ln|\cos x|} - \displaystyle{\frac{\cos^2x}{2}}$

เนื่องจาก $\displaystyle{\ln|\sec x|}=-\displaystyle{\ln|\cos x|}$ เลยได้่ว่าสามารถจับคู่พจน์ใน f(x) กับ g(x) ที่เท่ากันได้ ยกเว้นพจน์ $\displaystyle{\frac{\tan^2x}{2}}$ กับ $\displaystyle{\frac{\sec^2x}{2}}$
แต่สองพจน์นี้มีผลต่างเป็นค่าคงที่ครับ

[nattaphon]

เพราะเหตุใด ผลต่างของ $f(x) - g(x)$ ถึงได้เป็นค่าคงที่คับ ทำไมถึงไม่เป็นศูนย์
ตามความเข้าใจของผมคือ สุดท้ายก็ติดค่า C อยู่ดี ซึ่ง สามารถไปรวมกับค่า C ได้
เช่น
$$\begin{array}{rcl}
f(x) & = & F(x) + c_1 \\
g(x) & = & G(x) + c_2 \\
f(x)-g(x) & = & F(x)-G(x) + c_1 - c_2 \\
& = & 0 + c_1 - c_2 \\
& = & 0 + C \quad\therefore\textrm{เพราะไม่รู้ว่า c คืออะไร} \\
\end{array}$$

ผมเข้าใจอย่างงี้ถูกต้องหรือเปล่า ?

[Onasdi]

ไม่ใช่นะครับ เราอินทิเกรตออกมา จะได้สิ่งที่ดิฟได้ฟังก์ชั่นเดิม ซึ่งผลที่อินทิเกรตออกมาไม่จำเป็นต้องเท่ากัน
ดูตัวอย่างนะครับ

$\begin{array}{rcl}
\displaystyle{\int2\sin x\cos x\,dx} & = & \displaystyle{\int\sin 2x\,dx} \\
& = & \displaystyle{-\frac{1}{2}\cos 2x+c_1} \\
& = & \displaystyle{\sin^2 x-\frac{1}{2}+c_1} \\
\end{array}$

$\begin{array}{rcl}
\displaystyle{\int2\sin x\cos x\,dx} & = & \displaystyle{\int2\sin x\,d(sin)} \\
& = & \displaystyle{\sin^2 x+c_2} \\
\end{array}$