ตะลุยโจทย์ยามว่าง

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
ข้อนี้ผมอยากเห็น proof เต็มๆครับ แหะๆ ไม่รู้จะเขียนยังไง
8. Let $X,Y$ be normed linear space and $ T: X \rightarrow Y$ be a bounded linear operator such that $\|T \| \leq M $.
Prove that if there is a vector $x_0 \in X-\{ 0 \}$ such that $\|Tx_0 \| = M\|x_0\|$ then $\|T \| = M$.

$$M= \frac{\|Tx_0\|}{\|x_0\|}\leq \|T\|\leq M$$

[M@gpie]

โอ้ ง่ายจังเลยครับ พี่ Noonuii ทำไมผมคิดไม่ออกเนี่ย แย่จริงๆ

[nongtum]

วิธีทำข้อหกที่ผมมีคล้ายๆกัับที่น้อง M@gpie ทำ เพียงแต่เริ่มจากแทนเทอมทั่วไปในรูป G(x,a,b) แล้วหา Total differential ท้ายที่สุดก็จะได้ผลลัพธ์ทั้งก่อนและหลังแทนค่าเหมือนกันครับ
อ้อ ชื่อ Leibniz ไม่มีตัว t นะครับ

เพื่อไม่ให้กระทู้นี้เป็นกระทู้แคลคูลัสมาราธอน (3) ก็จะขอลองถามข้อนี้ละกัน

10. จงแสดงว่าตัวส่วนของ $\displaystyle{1/2\choose n}$ เป็นกำลังของ 2 สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Onasdi:
9. Let $S(n)=\displaystyle{\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}k}$.
(i) Find all positive integers $a, b$ such that $S(a)+S(b)+S(a+b)=2007$.
(ii) Find all positive integers $c, d$ such that $S(c)+S(d)+S(c+d)=2008$.

$$S(n)= \cases{-\frac{n}{2} & , n \,\, \text{even} \cr \frac{n+1}{2} & , n \,\, \text{odd}}$$

- ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนเต็มคู่ จะได้ว่า $S(a)+S(b)+S(a+b)=-(a+b)$
- ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ว่า $S(a)+S(b)+S(a+b)= 1$
- ถ้า $a$ เป็นจำนวนเต็มคี่ $b$ เป็นจำนวนเต็มคู่ จะได้ว่า $S(a)+S(b)+S(a+b)= a+1$
- ถ้า $a$ เป็นจำนวนเต็มคู่ $b$ เป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ว่า $S(a)+S(b)+S(a+b)= b+1$

ดังนั้น

$(i)$ ไม่มีคำตอบ
$(ii) (c,d) = (2007,d)$ เมื่อ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ใดๆ
หรือ $(c,d) = (c,2007)$ เมื่อ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ใดๆ

[Onasdi]

11. ห้องม. 3/2 มีนักเรียนอยู่ 30 คน นักเรียนสองคนใดๆจะเป็นเพื่อนกันหรือเป็นศัตรูกันอย่างใดอย่างหนึ่งอย่างเดียว ถ้านักเรียนแต่ละคนมีศัตรู 6 คนพอดี และนักเรียนสามคนใดๆจะมีอาจารย์ผู้ดูแลหนึ่งคนซึ่งอาจารย์ของนักเรียนแต่ละกลุ่มไม่ใช่คนเดียวกันเลย จงหาจำนวนของอาจารย์ผู้ดูแลที่มีนักเรียนในปกครองเป็นเพื่อนกันหมดหรือเป็นศัตรูกันหมด

[RedfoX]

ข้อ แรก ยังไม่มีคนทำใช่ไหมครับ

\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} - \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) - \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) - \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{5}} \right) - ... - \left( {\frac{1}{{n - 2}} - \frac{1}{{n - 1}}} \right) - \left( {\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}} \right) \\
\frac{1}{n} \\
\end{array}
\]
(เหอะๆนานๆจะทำได้กะเขา)

[banker]

ข้อแรก โจทย์ไม่ใช่อย่างที่คุณRedfoX คิดครับ
ตอนแรกผมก็คิดอย่างนั้น แต่ไม่ใช่
เครื่องหมายลบกับบวกสลับพจน์กันครับ

[RedfoX]

อีกนิดข้อ 11 นี่ใช้เรื่องกราฟรึเปล่าครับ

[Mastermander]

12. Calculate

\[
\frac{1}{{1^3 }} - \frac{1}{{3^3 }} + \frac{1}{{5^3 }} - \frac{1}{{7^3 }} + ...
\]

[passer-by]

1.

เพราะ $ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots = \ln 2 $

ดังนั้น $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\bigg( \frac{1}{n(n+1)} \bigg) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} = \ln 2 -(1-\ln2) = 2\ln 2 -1 $$

12.

จาก Fourier series ของ $x^2$ บน $ [-\pi,\pi] $

$$ x^2 = \frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{n^2}\cos nx $$

เนื่องจาก series converges uniformly (By M -Test) ดังนั้น สามารถ integrate term-by-term (จาก 0 ถึง t) และจะได้

$$ \frac{t^2}{3}= \frac{t\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{n^3}\sin nt \quad(-\pi \leq t \leq \pi)$$

แทน $ t= \frac{\pi}{2}$ จะได้ $$ \frac{1}{{1^3 }} - \frac{1}{{3^3 }} + \frac{1}{{5^3 }} - \frac{1}{{7^3 }} + ... = \frac{\pi^3}{32}$$

[M@gpie]

โอ้ ผมกำลังคิดว่า จะเอาฟังก์ชันอะไรมากระจายฟูริเยร์ ดี ไม่คิดว่าต้องอินทิเกรตอีกชั้นนึง จะจำไว้เป็นอีกวิธีนึงครับ

[Mastermander]

13. Find Real function such that

$$f(x)+3f(1-x)=2x^2+x-1$$

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
13. Find Real function such that$$f(x)+3f(1-x)=2x^2+x-1=(2x-1)(x+1).$$

อาจไม่ครบ แต่เอาเท่าที่ทำได้นะครับ

ให้ $x=1/2$ จะได้ $f(1/2)=0$ ดังนั้นสมมติให้ $f(x)=(2x-1)g(x)$ เมื่อ $g$ เป็นฟังก์ชันจริง
แทนค่ากลับแล้วกำจัดเทอมซ้ำจะได้ $g(x)-3g(1-x)=x+1$
ใช้ Ansatz (=trial solution) $g(x)=ax+b$ แทนค่ากลับแล้วเทียบสัมประสิทธิ์จะได้ $a=1/4,\ b=-7/8$
ดังนั้นคำตอบหนึ่งของสมการเชิงฟังก์ชันนี้คือ $f(x)=\frac18(2x-1)(2x-7)$ (แทนค่าตรวจสอบแล้วจริง)

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
13. Find Real function such that
$$f(x)+3f(1-x)=2x^2+x-1$$

$f(x)+3f(1-x)=(2x-1)(x+1)..............(1)$
แทน $x$ ด้วย $1-x$ ใน $(1)$
$f(1-x)+3f(x)=(2x-1)(x-2)...............(2)$

$3\times (2);$

$9f(x)+3f(1-x)=3(2x-1)(x-2)............(3)$

$(3)-(1);$

$8f(x)=(2x-1)(2x-7)$

[Mastermander]

14. Simplify

$$\prod_{k=1}^{n-1} \cos \frac{k\pi}{n}$$