รบกวนทีครับ real analysis

[ผู้โง่เขลา]

ให้ ลำดับ ${x_n}$ เป็นลำดับใน $R^n$ ที่ลู่เข้าสู่ $x$
ถ้า มี $c\in R^n$ และ มี $r>0$ ซึ่ง $||x_n-c||\leqslant r$ แล้ว $||x-c||\leqslant r$

รบกวนทีครับบบ

[nooonuii]

ใช้ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า $a_n\to a$ และ $a_n\leq r$ แล้ว $a\leq r$

บวกกับความจริงที่ว่า $f(x)=\|x\|$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

อันนี้เป็น shortcut ครับ

------------------------------------------------------------------

ถ้าไม่อยากพึ่งเครื่องมือหนักก็ลองทำตามนี้

สมมติ $\|x-c\|>r$ ให้ $\epsilon = \|x-c\|-r>0$

จากนิยามการลู่เข้าของลำดับจะมี $N$ ซึ่งทำให้ $\|x_N-x\|<\epsilon$

ดังนั้น $\|x-c\|\leq \|x-x_N\|+\|x_N-c\|<\epsilon + r$ ซึ่งขัดแย้ง

[ผู้โง่เขลา]

อ่ออออ ขอบคุณมากครับบบ