Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์มัธยมศึกษา > ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น > ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 18 มีนาคม 2005, 11:04
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post ข้อสอบประกายกุหลาบ ม.ต้น

ครั้งที่ 3 นะครับ

ตอนที่ 1 มีทั้งหมด 17 ข้อ

1. ให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงซึ่ง \(x^{2}-\frac{1}{x}=1\) จงหาค่าของ \(x^{4}-x^{3}-x^{2}\)

2. กำหนดพาราโบลา \(P_1,P_2\) ดังนี้
\(\qquad P_1\) มีจุดยอดที่ \((2005,2547)\) มีสมการเป็น \(y=a_1 x^{2}+ a_2 x+ a_3 ; a_1,a_2,a_3\) เป็นจำนวนจริง
\(\qquad P_2\) มีจุดยอดที่ \((2547,2005)\) มีสมการเป็น \(x=b_1 y^{2} + b_2 y + b_3 ; b_1,b_2,b_3\) เป็นจำนวนจริง
\(\qquad P_1,P_2\) ตัดกันได้อย่างมากกี่จุด

3. การสอบคณิตศาสตร์ของนักเรียน 10 คน โจทย์แต่ละข้อจะมีนักเรียนทำได้ 7 คนพอดี ถ้านักเรียน 9 คนทำได้คนละ 4 ข้อ นักเรียนคนที่ 10 จะทำโจทย์ได้กี่ข้อ

4. กำหนดให้ \(A=[(3\times 21)^{\frac{1}{2}}+8]^{\frac{1}{3}}-[(3\times 21)^{\frac{1}{2}}-8]^{\frac{1}{3}}\)
\(\qquad\qquad B=[20-(14\times 2)^{\frac{1}{2}}]^{\frac{1}{3}}+[20+(14\times 2)^{\frac{1}{2}}]^{\frac{1}{3}}\)
\(\qquad\qquad C=[5^{\frac{1}{2}}+2]^{\frac{1}{3}}+[5^{\frac{1}{2}}-2]^{\frac{1}{3}}\)
ข้อใดสรุปถูกต้อง
ก. \(A,B,C \) เป็นจำนวนนับ \(\qquad\) ข. \(A > C \qquad\) ค. \(C>B \qquad\) ง. ผิดทุกข้อ

5. โจรสลัดกลุ่มหนึ่ง(มากกว่า 9 คน แต่ไม่เกิน 20 คน)ได้โขมยถุงมาถุงหนึ่งซึ่งมีเหรียญทองคำ 2717 เหรียญ แต่ละเหรียญมีขนาดเท่ากัน โจรสลัดกลุ่มนี้ต้องการจะแบ่งเหรียญทองคำให้เท่า ๆกัน แต่ปรากฎว่าเหลือเศษอยู่ 2 เหรียญ จึงตกลงกันไม่ได้ ขณะโต้เถียงกันนั้นโจรสลัดคนหนึ่งถูกฆ่าตาย โจรสลัดที่ยังมีชีวิตอยู่ก็พยายามแบ่งเหรียญใหม่ให้ได้เท่าๆกัน แต่ปรากฏว่าเหลือเศษอยู่ 1 เหรียญจึงตกลงกันไม่ได้อีก ขณะโต้เถียงกันนั้นโจรสลัดคนหนึ่งถูกฆ่าตาย โจรสลัดที่ยังมีชีวิตอยู่ก็พยายามจะแบ่งเหรียญใหม่ให้ได้เท่าๆกัน ปรากฏว่าคราวนี้แบ่งลงตัวพอดี จงหาความน่าจะเป็นของจำนวนสมาชิกโจรสลัดซึ่งสามารถเกิดสถานการณ์ตามที่กำหนดให้ได้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 18 มีนาคม 2005, 14:37
R-Tummykung de Lamar R-Tummykung de Lamar ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 ธันวาคม 2004
ข้อความ: 566
R-Tummykung de Lamar is on a distinguished road
Post

ข้อ 1 เนื่องจาก x 0 จึงสามารถคูณ-หาร ตลอดสมการได้
\( \displaystyle{\begin{array}{rcr,rcl,rcr}&&x^2+\frac{1}{x}&=&1&...(0)\\&&x^4-x&=&x^2&...(1)\\ จาก (0)&&\frac{x^3-1}{x}&=&1\\&&x^3-1&=&x&...(2)\\เอา (2)ไปแทนใน(1)&&x^4-(x^3-1)-x^2&=&0\\&&x^4-x^3-x^2&=&-1\end{array}} \)
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] ||
(a,b,c > 0,a+b+c=3)
$$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 18 มีนาคม 2005, 16:33
R-Tummykung de Lamar R-Tummykung de Lamar ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 ธันวาคม 2004
ข้อความ: 566
R-Tummykung de Lamar is on a distinguished road
Post

ข้อ 5
ให้โจรสลัดกลุ่มนี้มี n+2 คน
จะได้ \( \displaystyle{\begin{array}{rrcl} &n&|&2717\\&n+1&|&2717-1=2716\\&n+2&|&2717-2=2715 \end{array}} \)
ลองแยกตัวประกอบดู ได้
\( \displaystyle{2717 = 11\times13\times19} \)
\( \displaystyle{2716 = 2^2\times7\times97} \)
\( \displaystyle{2715 = 3\times5\times181} \)

สังเกตดูก็จะได้ 13--14--15 ก็คือโจรกลุ่มนี้มี 15 คนครับ
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] ||
(a,b,c > 0,a+b+c=3)
$$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$

19 มีนาคม 2005 11:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 19 มีนาคม 2005, 10:01
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Smile

น้อง Gools ไปสอบมาหรือครับ. เคยได้ยินมาเหมือนกันว่ามีสอบ แต่เพิ่งเคยเห็นข้อสอบนี่ล่ะ โจทย์ยากดีเลยครับ.

ข้อ 3 ไม่รู้จะอธิบายยังไง ใครมีความสามารถอธิบายได้ง่าย ๆ รบกวนช่วยอธิบายด้วยครับ. ผมเอาดินสอนั่งขีด ๆ ๆ แต่นึกไม่ออกว่าจะอธิบายยังไง สรุปว่าข้อสอบมีทั้งหมด 6 ข้อ 9 คนแรกทำได้คนละ 4 ข้อ อีกคนที่เหลือ ทำได้ 6 ข้อ คิดว่างั้นนะครับ.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 19 มีนาคม 2005, 10:28
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

ก็เพิ่งสอบมาไม่นานนี้ครับ ยากจริงๆ ผมทำไปได้ครึ่งนึงเอง
ขอย้ายไปถามข้อยากนะครับ

9. \(AE=6,BF=13,CD=23\)
\(\frac{ED}{6}=\frac{FD}{13}+1\) จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 19 มีนาคม 2005, 10:54
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

ข้อ 1. อัตนัยครับ
1. จงหารากที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ
\[13x^{5}-78x^{4}-39x^{3}+507x^{2}-130x-580=5\]
2. กำหนดให้ \(A_0 A_1 A_2...A_9\) เป็นรูป 10 เหลี่ยมด่านเท่ามุมเท่า จงหาขนาดของมุม \(A_0 A_3 A_7\)

3.ให้ A,B และ C เป็นรากทั้ง 3 ของสมการ \(3x^{3}-6x^{2}+17x+11=0\) จงหาค่าของ \(A^{3}+B^{3}+C^{3}\)

4. กำหนดให้ \(n!=1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n\)
จงหาจำนวนเต็มบวก \(K\) ที่มากที่สุดที่ทำให้ \((2004!)!\) หารด้วย \(((K!)!)!\) ลงตัว

5. ให้ \(a+b+c=1\) จงหาค่าของ
\[a^{3}b+bc^{3}-a^{2}b+b^{2}c^{2}+2abc^{2}-bc^{2}+ab^{2}c+2a^{2}bc-abc+a^{2}b^{2} \]
6. \(P\) เป็นจุดภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า \(ABCD\) ถ้า \(PA=5, PB=\sqrt{2},PC=11\) จงหาความยาวของ \(PD\)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 19 มีนาคม 2005, 11:03
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Post

ข้อ 9.

จาก ED = EF + FD และ ED/6 = FD/13 + 1 เราจะได้ว่า 13EF + 7FD = 78

พื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD = พื้นที่สามเหลี่ยม ACE + พื้นที่สี่เหลี่ยม ABFE + พื้นที่สามเหลี่ยม BDF
= 3CE + 9.5EF + 6.5FD = 3(CE + EF + FD) + (6.5EF + 3.5FD) = 3*23 + 78/2 = 108
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 19 มีนาคม 2005, 11:16
<คิดด้วยคน>
 
ข้อความ: n/a
Post

ข้อ 3
หากใช้วิธีพิจารณาค่าที่เป็นไปได้แบบเร็วๆ ก็ตอบ 6 ครับ
คือสมมติให้ มีจำนวนข้อ x ข้อ และนักเรียนคนที่ 10 ทำได้ y ข้อ
หากทำถูกคือได้ 1 คะแนน และทำผิดคือไม่ได้คะแนน (เอาศูนย์ไปกิน)
เมื่อพิจารณาถึงคะแนนรวมของการสอบทั้งหมดจะพบว่า
7x = 9(4) + y โดยที่ y <= x
จึงเหลือเพียงกรณีเดียวที่เป็นไปได้คือ x = y = 6

ส่วนเหตุผลจริงๆนั้น รอคนข้างล่างมาตอบครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 19 มีนาคม 2005, 11:21
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

สุดยอดครับคุณ warut คิดข้อ 9 ได้เร็วมากๆ
ข้อนี้ผมใช้เลาเป็นชั่วโมงนะเนี่ย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 19 มีนาคม 2005, 11:36
R-Tummykung de Lamar R-Tummykung de Lamar ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 ธันวาคม 2004
ข้อความ: 566
R-Tummykung de Lamar is on a distinguished road
Post

ข้อ 1 อัตนัยครับ .ย้าย 5 ไปลบ แล้วเอา 13 ทอน
\(\displaystyle{\begin{array}{lrcl}&x^5-6x^4-3x^3+36x^2-10x+45&=&0 \\&x(x^4-3x^2-10)-3(2x^4-13x^2+15)&=&0\\&x(x^2-5)(x^2+2)-3(2x^2-3)(x^2-5)&=&0\\&(x^2-5)(x^3-6x^2+2x+9)&=&0\\บังเอิญว่าเห็น สัมประสิทธิ์\\วงเล็บหลังหลักคี่ = หลักคู่พอดี\\&(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})(x+1)(x^2-7x+9)&=&0\\วงเล็บสุดท้ายมีคำตอบคือ&x&=&\frac{7\ \ \pm\sqrt{13}}{2}\\ดังนั้นคำตอบทั้งหมดคือ&x\quad=\quad\pm\sqrt{5},\quad-1,\quad\frac{7\ \ \pm\sqrt{13}}{2}\end{array}} \)
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] ||
(a,b,c > 0,a+b+c=3)
$$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 19 มีนาคม 2005, 12:53
R-Tummykung de Lamar R-Tummykung de Lamar ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 ธันวาคม 2004
ข้อความ: 566
R-Tummykung de Lamar is on a distinguished road
Post

ข้อ 6 อัตนัยครับ
จากรูปที่แนบมา รูปซ้าย พลิกเส้นให้เป็นรูปขวา ให้ PE ยาว x
จะได้ PF ยาว \( \displaystyle{\sqrt{25-x^2}} \)
จะได้ PG ยาว \( \displaystyle{\sqrt{-23+x^2}} \)
จะได้ PH ยาว \( \displaystyle{\sqrt{144-x^2}} \)

ดังนั้น PD ยาว \( \displaystyle{(\sqrt{144-x^2})^2+x^2\quad=\quad\sqrt{144}\quad=\quad12} \)

กรณีทั่วไป คือ ถ้ายาว x,y และ z (y เป็นด้านตรงข้ามกับด้านที่ราต้องการหา)
จะได้ด้านที่ต้องการหายาว \(\displaystyle{\sqrt{x^2+z^2-y^2}} \)
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] ||
(a,b,c > 0,a+b+c=3)
$$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$

19 มีนาคม 2005 13:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 19 มีนาคม 2005, 16:10
M@gpie's Avatar
M@gpie M@gpie ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 ตุลาคม 2003
ข้อความ: 1,227
M@gpie is on a distinguished road
Post

ถ้า \( \; A,B,C \; \)เป็นรากของสมการ \( 3x^3-6x^2+17x+11 =0 \;\) แล้ว จงหา \( A^3+B^3+C^3 \)
เนื่องจาก \( \; A,B,C \; \)เป็นรากของสมการ \( x^3-2x^2+\frac{17}{3}x+\frac{11}{3} =0 \;\)โดยทฤษฏีบทรากของพหุนาม เราจะได้ว่า
\[ A+B+C = 2 \]
\[ AB+AC+BC=\frac{17}{3} \]
\[ ABC=-\frac{11}{3} \]
และจะได้ด้วยว่า \[ A^3-2A^2+\frac{17}{3}A+\frac{11}{3} =0 \]
\[ B^3-2B^2+\frac{17}{3}B+\frac{11}{3} =0 \]
\[ C^3-2C^2+\frac{17}{3}C+\frac{11}{3} =0 \]
จับสามสมการบวกกัน จะได้
\[ (A^3+B^3+C^3)-2(A^2+B^2+C^2)+\frac{17}{3}(A+B+C)+11 =0 \]
เนื่องจาก \[ (A+B+C)^2 = A^2+B^2+C^2 +2AB+2AC+2BC \]
ดังนั้น \[ A^2+B^2+C^2 = 2^2 - 2(\frac{17}{3}) \]
เราก็สามารถหาค่าของ \( A^3+B^3+C^3 \) ได้ ตามต้องการ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon!
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 19 มีนาคม 2005, 23:41
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Smile

ข้อ 2 ครับ. จากรูป
หามุม x เนื่องจาก \(A_3OA_7 = 4(\frac{\pi}{5}) = 144 \, \) องศา ดังนั้น x = (1/2)(180 - 144) = 18 องศา
หามุม y เนื่องจาก \(A_3OA_0 = 3(\frac{\pi}{5}) = 108 \, \)องศา ดังนั้น y = (1/2)(180 - 108) = 36 องศา
ดังนั้น \(A_0A_3A_7 = 18 + 36 = 54\) องศา
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 20 มีนาคม 2005, 00:26
<คิดด้วยคน>
 
ข้อความ: n/a
Post

ข้อ 2 คิดแบบนี้ก็ได้ครับ
เนื่องจากเราวาดรูปเหลี่ยมด้านเท่า มุมเท่าใดๆ ลงบนวงกลมได้เสมอ ดังนั้นจุดมุมต่างๆจึงอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม

จะได้ มุม A0 A3 A7 = (1/2) * มุม A0 O A7 = (1/2) * (3* 360/10) = 54 องศา
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 20 มีนาคม 2005, 00:48
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Smile

ข้อ 2 นี่ลืมมองแบบง่าย ๆ จริง ๆ ครับ.

ข้อ 4 เนื่องจาก A! | B! ก็ต่อเมื่อ A B

ดังนั้น (((k)!)!)! | (2004!)! ก็ต่อเมื่อ (k!)! 2004! ก็ต่อเมื่อ k! 2004
แต่ 6! = 720 และ 7! = 5040 > 2004 ดังนั้น k ที่มากสุด k = 6 น่าจะใช่นะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 06:47


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha