ใครชอบ matrix เชิญทางนี้

[alongkorn]

บทนิยาม P เป็นเมทริกซ์นิจพล (idempotent matrix) ถ้า P = P²

ให้ P₁ และ P₂ เป็นเมทริกซ์นิจพล และ c₁, c₂ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่ไม่เป็น 0 จงพิสูจน์ว่า P₁ - P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานก็ต่อเมื่อ c₁P₁ + c₂P₂ และ I - P₁P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน

[gon]

เมตริกซ์นิจพลก็เพิ่งได้ยินเป็นครั้งแรกนี่ล่ะครับ. ไปลองเปิดดูพจานุกรมคณิตศาสตร์ก็แปลเป็นไทยเป็นอย่างนั้นจริง ๆ

ผมคิดไม่ออกครับ. ลองเปลี่ยนข้อความเก่าเป็นข้อความใหม่ที่สมมูลกันคือ
P₁ - P₂ = เป็นเมทริกซ์เอกฐาน ก็ต่อเมื่อ c₁P₁ - c₂P₂ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน หรือ I - P₁P₂ เป็นเมตริกซ์เอกฐาน

น่าจะเปลี่ยนไม่ผิดนะ. จากนั้นพอจะลองแบ่งกรณี ก็ไม่รู้จะเริ่มเล่นจากตรงไหนก่อน น่าจะมีลูกเล่นแบบว่าเอาอะไรไปคูณ แล้วแยกตัวประกอยอะไรหรือเปล่านะ ???

[alongkorn]

พิสูจน์ตรง ๆ เลยครับ ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนอะไร hint เพิ่มนิดนึงนะครับ
บทนิยาม ปริภูมิสู่ศูนย์ (Null space) ของ A เขียนแทนด้วย N(A) คือ {x | Ax = 0}
บทนิยาม A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานก็ต่อเมื่อ N(A) = {0}

การพิสูจน์ขาไป แบ่งการพิสูจน์เป็น 2 ส่วน คือ 1) ถ้า P₁ - P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้ว I - P₁P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน 2) ถ้า P₁ - P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้ว c₁P₁ + c₂P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน
การพิสูจน์ 1) ให้ x e N(I - P₁P₂) ต้องการพิสูจน์ว่า x = 0 เท่านั้น
การพิสูจน์ 2) ก็แนวคิดเดียวกับ 1)
ใช้การแยกตัวประกอบแบบนี้ครับ (P₁ - P₂)² = P₁ - P₁P₂ - P₂P₁ + P₂

[warut]

ขอบคุณ อ. alongkorn มากๆเลยครับที่เอาโจทย์ดีๆอย่างนี้มาให้คิดกัน

เป็นที่น่าสังเกตอย่างหนึ่งว่าข้อความขากลับเป็นส่วนหนึ่งของข้อความขาไปอยู่แล้ว
ดังนั้นเราพิสูจน์แค่ขาไปอย่างเดียวก็พอ ซึ่งวิธีพิสูจน์ที่ อ. alongkorn แนะนำมาก็
เป็นวิธีที่เป็นขั้นเป็นตอนที่ดีที่สุดแล้วมั้ง ซึ่งผมหวังว่าคงจะมีใครสักคนมาแสดงให้ดู
แต่ตอนนี้ผมขอแสดงการพิสูจน์แบบรวบยอดให้ดูก่อนดังนี้ครับ

จาก (P₁ - P₂)² = (I - P₁P₂)(P₁ + P₂ - P₂P₁) = (c₁P₁ + c₂P₂)((I - P₁)/c₂ + (I - P₂)/c₁)

จึงเห็นได้ชัดว่าข้อความที่ต้องการพิสูจน์นั้นเป็นจริง (ถ้าใครยังไม่เห็นให้ลองใส่
determinant ลงไป แล้วใช้ความรู้ที่ว่า det(AB) = det(A)det(B) และ det(A) = 0
เมื่อ A เป็น singular matrix และ det(A) น 0 เมื่อ A เป็น invertible matrix)

[alongkorn]

hint ต่อนะครับ
เนื่องจาก x e N(I - P₁P₂) ดังนั้น
x = P₁P₂x . . . (1)
เมื่อนำ P₁ คูณทางซ้ายทั้งสองข้างของ (1) จะได้
P₁x = P₁P₁P₂x = P₁P₂x = x . . . (2)
นำ P₂ คูณทั้ง 2 ข้างของ (2) จะได้
P₂P₁x = P₂x
ผมมั่นใจว่ามีคนพิสูจน์ต่อได้อย่างแน่นอนครับ

[warut]

จอึ๋ย...ผมพิสูจน์ผิดไม่เห็นมีใครท้วงเลย

เดิมผมคิดว่าการพิสูจน์ขากลับเป็นส่วนหนึ่งของขาไป โดยการแทน P₁ ด้วย d₁Q₁
แทน P₂ ด้วย d₂Q₂ แทน c₁ ด้วย 1/d₁ และ แทน c₂ ด้วย 1/d₂ ลืมคิดไปว่า
ถ้า P เป็น idempotent matrix แล้ว cP ไม่จำเป็นต้องเป็น idempotent matrix ด้วยนี่นา
ถ้าใครหา "one-line proof" แบบกรณีขาไปได้ช่วยมาบอกด้วยนะครับ ผมคงหมดแรงคิดแล้วล่ะตอนนี้

[gon]

ไม่มีคนท้วงคุณ Warut เพราะคงยังไม่มีใครคิดต่อออกกระมังครับ. เมตริกซ์กับผมก็ไม่ถูกโฉลกกันซะด้วย

[warut]

คงต้องขอร้องให้ อ. alongkorn ช่วยมาแสดงการพิสูจน์ขากลับให้ดูแล้วล่ะครับ
ผมจนด้วยเกล้าแล้ว คิดไม่ออกจริงๆ

[alongkorn]

(a) P₁ - P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน
(b) c₁P₁ + c₂P₂ และ I - P₁P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน
การพิสูจน์ขาไป
ให้ P₁ - P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ x e N(c₁P₁ + c₂P₂) ดังนั้น
c₁P₁x = -c₂P₂x .....(1)
เมื่อเอา P₁ คูณทางซ้ายทั้ง 2 ข้างของ (1) จะได้
c₁P₁x = -c₂P₁P₂x .....(2)
เมื่อเอา P₂ คูณทางซ้ายทั้ง 2 ข้างของ (1) จะได้
c₁P₂P₁x = -c₂P₂x .....(3)
จาก (1), (2) และ (3) จะได้
c₁P₁x = -c₂P₂x = -c₂P₁P₂x = c₁P₂P₁x
ส่งผลให้
P₁x = P₂P₁x และ
P₂x = P₁P₂x
เนื่องจาก P₁ - P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ดังนั้นจะมี (P₁ - P₂)^-2 เป็นตัวผกผันการคูณของ (P₁ - P₂)² และ (P₁ - P₂)² = P₁ - P₁P₂ - P₂P₁ + P₂ = 0 ดังนั้น
x = (P₁ - P₂)^-2(P₁ - P₁P₂ - P₂P₁ + P₂)x = 0
ดังนั้น N(c₁P₁ + c₂P₂) = {0}
ต่อไปจะพิสูจน์ว่า I - P₁P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ให้ x e N(I - P₁P₂) ดังนั้น
x = P₁P₂x .....(4)
ถ้าเอา P₁ คูณทางซ้ายทั้ง 2 ข้างของ (4) จะได้
P₁x = P₁P₂x = x .....(5)
ถ้าเอา P₂ คูณทางซ้ายทั้ง 2 ข้างของ (5) จะได้
P₂P₁x = P₂x .....(6)
จาก (4), (5) และ (6) จะได้
P₁x = P₁P₂x และ
P₂P₁x = P₂x
ในทำนองเดียวกันจะได้
x = (P₁ - P₂)^-2(P₁ - P₁P₂ - P₂P₁ + P₂) = 0
เพราะฉะนั้น N(I - P₁P₂) = {0}

การพิสูจน์ขากลับ
ให้ c₁P₁ + c₂P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานสำหรับทุก c₁, c₂ e C สมมติ c₁ = 1 และ c₂ = -1 จะได้ P₁ - P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน
QED

[alongkorn]

นี่เป็นทฤษฎีบทนึงในงานวิจัยเรื่อง Nonsingularity of linear combinations of idempotent matrices โดย Jerzy K. Baksalary และ Oskar Maria Baksalary ชาว Poland สำหรับ full text ของงานวิจัยนี้สามารถ download ได้จาก sciencedirect.com ในวารสาร Linear Algebra and Its Applications เพิ่งจะได้ตีพิมพ์เมื่อ 19 / กพ./ 2004 ที่ผ่านมานี่เอง แสดงว่ายังเป็นเรื่องใหม่อยู่ ใครจะทำ project หรือ Thesis ก็น่าจะลองคิดต่อจาก paper นี้ได้ครับ เพราะไม่ได้ใช้ความรู้อะไรมากมาย

[warut]

ขอบคุณมากๆครับ อ. alongkorn สำหรับการพิสูจน์และข้อมูลอย่างละเอียด และช่วย
ให้ผมทราบว่าทำไมผมทำไม่ได้ซักที

จากการพิสูจน์ขากลับที่อาจารย์แสดงมาทำให้ผมทราบว่าสิ่งที่อาจารย์ต้องการให้พวก
เราพิสูจน์จริงๆแล้วคือข้อความต่อไปนี้ครับ

ให้ P₁, P₂ เป็น idempotent matrices จงพิสูจน์ว่า P₁ - P₂ เป็น invertible matrix
ก็ต่อเมื่อ I - P₁P₂ และ c₁P₁ + c₂P₂ เป็น invertible matices สำหรับทุกจำนวน
เชิงซ้อน c₁, c₂ ที่ไม่เป็นศูนย์

ซึ่งข้อความนี้ไม่สมมูลกับข้อความในโจทย์ ทั้งนี้เป็นเพราะข้อความ "c₁, c₂ เป็น
จำนวนเชิงซ้อนใดๆ ที่ไม่เป็น 0" อยู่คนละที่กัน ความหมายทั้งหมดจึงเปลี่ยนไป
สรุปอีกครั้งเป็นข้อความแบบตรรกศาสตร์เพื่อให้เห็นชัดได้ดังนี้

ให้ P₁, P₂ เป็น idempotent matrices
โจทย์บอกให้พิสูจน์ว่า

"c₁ น 0 "c₂ น 0 [{P₁ - P₂ invertible} ซ {(I - P₁P₂ invertible) & (c₁P₁ + c₂P₂ invertible)}]

แต่จริงๆแล้วสิ่งที่ควรจะต้องพิสูจน์คือ

{P₁ - P₂ invertible} ซ {(I - P₁P₂ invertible) & ("c₁ น 0 "c₂ น 0 [c₁P₁ + c₂P₂ invertible])}

เล่นเอาผมหน้ามืดไปหลายตลบเลยครับ

[alongkorn]

ต้องขอโทษจริง ๆ ครับ และขอบคุณมาก ๆ สำหรับคุณ warut ที่ช่วยบอก เป็นความสะเพร่าของผมเองครับ โจทย์ที่ผมให้ไปนั้นถูกต้องแล้วครับ ทีนี้มาดูการพิสูจน์ขากลับ (จริง ๆ)
ให้ c₁P₁ + c₂P₂ และ I - P₁P₂ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน สมมติ x e N(P₁ - P₂) ดังนั้น
P₁x = P₂x .....(1)
เอา P₁ คูณทางซ้ายทั้ง 2 ข้างของ (1) จะได้
P₁x = P₁P₂x .....(2)
จาก (1) ดังนั้น
P₂x = P₁P₂x .....(3)
เอา P₂ คูณทั้ง 2 ข้างของ (3) จะได้
P₂x = P₂P₁P₂x .....(4)
เนื่องจาก
(c₁P₁ + c₂P₂)(I - P₁P₂) = c₁P₁ - c₁P₁P₂ + c₂P₂ - c₂P₂P₁P₂
ดังนั้น
x = (I - P₁P₂)^-1(c₁P₁ + c₂P₂)^-1(c₁P₁ - c₁P₁P₂ + c₂P₂ - c₂P₂P₁P₂)x = 0
จึงสรุปได้ว่า N(P₁ - P₂) = {0}

[warut]

เอิ๊กๆๆ รู้สึกว่ากระทู้นี้ผมได้ปล่อยไก่ไปหลายเล้าเลย (หวังว่าคงไม่ทำให้ใครติด
เชื้อไข้หวัดนกนะ ) กว่าจะได้รู้ว่าที่ทำไม่ได้ก็เพราะความเขลาของตัวเองล้วนๆ
ขอบคุณ อ. alongkorn มากครับสำหรับการพิสูจน์ขากลับของแท้ ซึ่งช่วยให้ผม
หา "one-line proof" สำหรับขากลับได้สำเร็จแล้วดังนี้ครับ:
(I - P₁P₂)(c₁P₁ + c₂P₂) = (P₁ - P₂)(c₁P₁ - c₂P₂ - c₁P₂P₁) หรือ
(c₁P₁ + c₂P₂)(I - P₁P₂) = (c₁P₁ - c₂P₂ + c₂P₂P₁)(P₁ - P₂)