Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 20 ตุลาคม 2016, 18:11
Terry Tao Terry Tao ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 20
Terry Tao is on a distinguished road
Default

คลายเครียดครับ มีP,Qเป็นพหุนามที่ดีกรีมากกว่า1ซึ่งP(Q(x))=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-15)หรือไม่
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 20 ตุลาคม 2016, 18:33
Terry Tao Terry Tao ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 20
Terry Tao is on a distinguished road
Default

กระจายเทียบสปสก็ได้

20 ตุลาคม 2016 18:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Terry Tao
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 20 ตุลาคม 2016, 19:35
Lspeed Lspeed ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 16
Lspeed is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania View Post

1.) พิจารณาส่วนของเส้นตรง $n$ เส้นที่สองเส้นใดๆ ตัดกัน และไม่มีสามเส้นใดที่ตัดกันจุดเดียว

เจฟจะวางกบที่ปลายส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้น และวางหันหน้าไปยังปลายอีกด้านหนึ่งขอส่รวนของเส้นตรง

เมื่อเจฟปรบมือ กบจะกระโดดโดยไปยังจุดตัดจุดแรกที่เจอ

เขาต้องการวางกบโดยที่ไม่มีกบสองตัวใดๆ อยู่ในตำแหน่งเดียวกันหลังการปรบมือแต่ละครั้ง

จงแสดงว่า

เจฟจะสามารถวางกบตามที่เขาต้องการได้เสมอเมื่อ $n$ เป็นเลขคี่ และ

เจฟจะไม่สามารถทำตามความต้องการเขาได้ ถ้าหาก $n$ เป็นจำนวนคู่

(IMO2016 #6)
กรณีคี่ไม่รู้จะอธิบายยังไงดีครับ

ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 20 ตุลาคม 2016, 21:33
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lspeed View Post
กรณีคี่ไม่รู้จะอธิบายยังไงดีครับ

อ่านยากอยู่นะครับ 55555

__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ

20 ตุลาคม 2016 21:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 21 ตุลาคม 2016, 08:04
Terry Tao Terry Tao ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 20
Terry Tao is on a distinguished road
Default

Let A, B, C, D, E, and F be the consecutive points of tangency of the small circles with the outer circle and each of small circle tangent to two nearby circle then AD,BE,CF are concurrent.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 21 ตุลาคม 2016, 08:06
Terry Tao Terry Tao ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 20
Terry Tao is on a distinguished road
Default

Hintใช้ceva
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 21 ตุลาคม 2016, 09:57
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

วันนี้เรียน FE ใช่มั้ยครับ จัดไปครับ

1.) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า

ถ้าหาก $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มที่ $a+b+c=0$ แล้วเราจะได้ว่า

$$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$$

(IMO 2012 #4)

2.) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่

$$f(f(m)+n)+f(m)=f(n)+f(3m)+2014$$

สำหรับทุกจำนวนเต็ม $m,n$ (ISL 2014 A4)

3.) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่

$$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$$

สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ (IMO 2015 #5)

4.) จงหาฟังก์ชัน $f,g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า

$$f^{g(n)+1}(n)+g^{f(n)}(n)=f(n+1)-g(n+1)+1$$

สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ (ในที่นี้ $f^k(n)$ หมายถึงฟังก์ชันซ้อนกับ $k$ ตัว) (ISL 2011 A4)

5.) ให้ $S$ เป็นสับเซตของจำนวนจริง เราจะกล่าวว่าฟังก์ชัน $f,g:S\rightarrow S$ ว่าเป็น "คู่หู"

ถ้าหากสอดคล้องกันสองเงื่อนไขต่อไปนี้

1.) $f(x)<f(y),g(x)<g(y)$ เมื่อ $x,y\in S$ และ $x<y$

2.) $f(g(g(x)))<g(f(x))$ เมื่อ $x\in S$

จงพิจารณาว่ามีฟังก์ชันที่เป็นคู่หูหรือไม่เมื่อ

1.) $S=\mathbb{N}$

2.) $S=\left\{a-\frac{1}{b}|a,b\in\mathbb{N}\right\} $ (ISL 2008 A3)
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 21 ตุลาคม 2016, 16:05
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Terry Tao View Post
คลายเครียดครับ มีP,Qเป็นพหุนามที่ดีกรีมากกว่า1ซึ่ง$P(Q(x))=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-15)$ หรือไม่
มี solution นึงสวยดีครับ
WLOG ให้ $Q$ เป็น monic จะได้ $P$ เป็น monic ด้วย
ก่อนอื่นจะได้ $\deg [P(x)]=3,\deg [Q(x)]=5$ หรือ $\deg [P(x)]=5,\deg [Q(x)]=3$

กรณี $\deg [P(x)]=3,\deg [Q(x)]=5$ $\quad 1,2,...,15$ เป็นคำตอบของ $P(Q(x))=0$

แต่สมการ $P(x)=0$ มีคำตอบได้อย่างมาก $3$ คำตอบ สมมติคำตอบเหล่านั้นคือ $a,b,c$
ต่อมาสมการ $Q(x)=a,Q(x)=b,Q(x)=c$ มีคำตอบได้อย่างมากสมการละ $5$ คำตอบ

แต่เราทราบว่าสามสมการนี้ต้องมีคำตอบรวมกัน $15$ คำตอบ จึงทำให้แต่ละสมการมี $5$ คำตอบพอดี

เราจึงได้ระบบสมการต่อไปนี้
$Q(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_5)+a$
$Q(x)=(x-r_6)(x-r_7)\cdots (x-r_{10})+b$
$Q(x)=(x-r_{11})(x-r_{12})\cdots (x-r_{15})+c$
เมื่อ $r_1,r_2,...,r_{15}$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ $1,2,...,15$

ดังนั้นโดยผลบวกราก $r_1+r_2+\cdots+r_5=r_6+r_7+\cdots+r_{10}=r_{11}+r_{12}+\cdots+r_{15}$
และ
$\displaystyle \sum_{1\le i < j \le 5} r_ir_j=\sum_{6\le i < j \le {10}} r_ir_j=\sum_{{11}\le i < j \le {15}} r_ir_j$

จะได้ $r^2_1+r^2_2+\cdots+r^2_5=r^2_6+r^2_7+\cdots+r^2_{10}=r^2_{11}+r^2_{12}+\cdots+r^2_{15} = \dfrac{1}{3}(1^2+2^2+\cdots+15^2) = \dfrac{1240}{3}$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง

อีกกรณีนึงสามารถทำเช่นเดียวกัน แต่จะมาเปลี่ยนตรงท้ายจะกลายเป็น
$r_1+r_2+r_3=r_4+r_5+r_6=\cdots=r_{13}+r_{14}+r_{15}=24$
$r^2_1+r^2_2+r^2_3=r^2_4+r^2_5+r^2_6=\cdots=r^2_{13}+r^2_{14}+r^2_{15}=248$
WLOG $r_1=15$ จะได้ $r_2 \ge 5$ หรือ $r_3 \ge 5$ ทำให้ $r_1^2+r_2^2+r_3^2 > 248$ เกิดข้อขัดแย้ง

ปล.1 อย่าพึ่งรีบ hint สิครับ
ปล.2 อาจารย์ในค่ายค่อนข้างชอบอสมการที่มีค่ากึ่งกลางนะ

ไว้ว่างๆจะหาโจทย์มาให้น้องในค่ายทำเหมือนกัน แต่ช่วงนี้ก็ไม่ค่อยได้ทำโจทย์ละครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 21 ตุลาคม 2016, 16:35
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

ให้ข้อคลาสสิกไปข้อนึงดีกว่า
ในลำดับที่ประกอบด้วยจำนวน $ab+1$ จำนวนซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด จงพิสูจน์ว่าจะมีลำดับย่อยซึ่งมีสมาชิก $a+1$ ตัวและเป็นลำดับเพิ่ม หรือมีสมาชิก $b+1$ ตัวและเป็นลำดับลด

นิยาม: ลำดับย่อยคือลำดับที่เกิดจาก delete สมาชิกในลำดับเริ่มต้นออกไปบางตัว โดยไม่เปลี่ยนตำแหน่งของตัวที่เหลือ
https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 21 ตุลาคม 2016, 17:48
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

วิธีผมเอง ไม่รู้มีใครทำแบบนี้ป่าว

ให้ $s_1,s_2,s_3,...,s_{ab+1}$

สมมติขัดแย้งว่า ทุกๆลำดับย่อยเพิ่มแท้ มีความยาวไม่เกิน $a$ และ ทุกๆลำดับย่อยลดแท้ มีความยาวไม่เกิน $b$

จะทาสีตัวเลขทุกตัว โดยให้ $f(n)$ แทนสีของ $s_n$ โดยทาสีตามขั้นตอนต่อไปนี้

1. ทาสี $s_1$ ด้วยสีที่ 1 จากนั้นหาตัวแรกที่น้อยกว่า $s_1$ ให้เป็นตัวที่ $t_{1,2}$)

2. ทำนองเดียวกัน หาตัวแรกที่น้อยกว่า $s_{t_{1,2}}$ ให้เป็นตัวที่ $t_{1,3}$ จากนั้นทำไปเรื่อยๆจนจบลำดับ

3. ทาสี $s_{t_{1,k}}$ ด้วยสีที่ 1 ทุกๆ $k$

4. ดำเนินการเช่นนี้ไปเรื่อยๆ โดยเริ่มจากตัวแรกที่ไม่ถูกทาสี และให้สีเป็น $2,3,4,...$ ไปเรื่อยๆ

สังเกตว่าจะมีช่องที่ทาสีที่ $i$ อยู่ไม่เกิน $b$ ช่อง (เพราะมิฉะนั้นจะเกิดลำดับลดความยาว $b+1$)

และมีสีไม่เกิน $a$ สี เพราะตัวแรกที่ทาสีที่ $i$ สำหรับ $i=1,2,3,...$ จะทำให้เกิดลำดับเพิ่ม

เพราะฉะนั้น จำนวนพจน์ต้องมีไม่เกิน $ab$ พจน์ ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 21 ตุลาคม 2016, 20:51
Lspeed Lspeed ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 16
Lspeed is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania View Post

4.) ให้ $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม a,b โดยที่ $\frac{1}{2555}<ax+b<\frac{1}{2012}$

(TMO9 #10 / Special Case of Kronecker's Theorem)
โดยส่วนตัวผมว่าข้อนี้ยากนะครับ


09 เมษายน 2017 12:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Lspeed
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 21 ตุลาคม 2016, 22:30
Terry Tao Terry Tao ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 20
Terry Tao is on a distinguished road
Default

ข้อนี้สวยงามครับ ให้f: (0,infinity)->(0,infinity) นิยามโดยf(xf(x)+f(y))=y+f(x)^2 จงหาf(x)ทั้งหมดที่เป็นไปได้

21 ตุลาคม 2016 22:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Terry Tao
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 21 ตุลาคม 2016, 22:33
Terry Tao Terry Tao ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 20
Terry Tao is on a distinguished road
Default

Hint:ถ้าไม่มีf(0)หาf(1)แทนแต่ก่อนจะพบค่าf(1)จะพบความมหัศจรรย์ที่นำไปสู่คำตอบ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 21 ตุลาคม 2016, 22:49
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

อย่ารีบ hint สิ 555555
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 21 ตุลาคม 2016, 23:49
Lspeed Lspeed ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 16
Lspeed is on a distinguished road
Default

คุณ Terry tao ไม่ต้องรีบใบ้ขนาดนั้นก็ได้คร้าบ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
prove minkowski's inequality if p is infinity and essential supremum rainbowpark คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 0 20 สิงหาคม 2009 22:43
1^infinity ไม่เท่ากบ1เพราะ? 000 คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 3 03 มิถุนายน 2009 21:08

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 15:16


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha