Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 23 มีนาคม 2016, 22:20
maxsupanut's Avatar
maxsupanut maxsupanut ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 ตุลาคม 2012
ข้อความ: 25
maxsupanut is on a distinguished road
Default ข้อสอบคัดผู้เเทนศูนย์มหิดล2559

cr กฤติน
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
__________________
Be the change you want to see in the world.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 24 มีนาคม 2016, 01:26
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

เดี๋ยวทำได้แล้วจะมาเขียนเพิ่มให้นะครับ

1. พิจารณา $A_0=1+9+25=35\rightarrow gcd(A_0,A_1,...,A_{1999})|35$

2. ไล่ด้าน

3. $x=\phi(10000)$

4.

5.

6. $(a,b,c)\rightarrow(17,5,59),(11,5,47)$ ได้ $n\leq 9$

7. ไม่จริงหนิครับ ลองให้ $P(x)=0.00001(x-2016+0.25)(x-2015)(x-2014)$

8. เคลียร์ให้เหลือแค่ $ืn2^n\equiv -1 mod 3$ จากนั้นก็ $mod 6$

9.

10.

11. Recurrence Relation

12. สะท้อน $A$ ผ่าน $ฺBC$ ได้ $A'$ ใช้จากที่ว่า $A',B',H,C$ cyclic
__________________
I'm Back

24 มีนาคม 2016 06:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 26 มีนาคม 2016, 04:12
ROCKY's Avatar
ROCKY ROCKY ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 เมษายน 2012
ข้อความ: 6
ROCKY is on a distinguished road
Default

มาช่วยข้อที่เหลือ
4.ชัดเจนว่า f 1-1
$(x,y)\rightarrow (0,0): f(3f(0))=f(0) \rightarrow f(0)=0$
$(x,y)\rightarrow (-x,2x): f(-x+f(-x)+2f(2x))=f(2x)\rightarrow 2f(2x)=3x-f(-x)---(*)$
$(x,y)\rightarrow (x,0) : f(x+f(x))=2x$
$(x,y)\rightarrow (0,x+f(x)) :f(2f(x+f(x)))=x+f(x)+f(x+f(x))\rightarrow f(4x)=3x+f(x)$
แทน x ด้วย 2x ใน(*) $2f(4x)=6x-f(-2x)$
แทน x ด้วย -x ใน (*) : $2f(-2x) = -3x-f(x)$
เอาสองอันนี้มารวมกันจะได้
$3x+f(x)=f(4x)=\frac{15x+f(x)}{4}\rightarrow f(x)=x$

5. พิจารณา $(\{x,y\},Q_i)$ โดยที่ $x\in Q_i$ หรือ $y\in Q_i$ $i=1,...,6$แล้วลอง double-counting

9. Part 1 : Apply Ptolemy's theorem
Part 2 : $ADB\sim ABP$ and $ADC\sim ACP$
10. คิดแยกเป็นสองกลุ่มก็ได้เลย? เพราะทั้งสองเคสอสมการเป็นสมการเมื่อ้ a=b=c=d =1
__________________
...Only NOOBS would use a signature.....

26 มีนาคม 2016 06:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ROCKY
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 26 มีนาคม 2016, 13:05
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

5. $6 \binom{80}{2}<\binom{200}{2}$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 27 มีนาคม 2016, 23:00
ACFEGIN's Avatar
ACFEGIN ACFEGIN ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 23 พฤษภาคม 2014
ข้อความ: 23
ACFEGIN is on a distinguished road
Default

ข้อ 10 จาก A.M.-G.M.
$$\sqrt{\frac{a+b}{c}} + \sqrt{\frac{b+c}{a}} + \sqrt{\frac{c+a}{b}} \geq 3 \sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}} \geq 3\sqrt[6]{8}$$

ให้พจน์ที่เหลือเป็น $X$
จากโคชี่ได้ว่า $$[a^2(b+c+d) + b^2(c+d+a) + c^2(d+a+b) + d^2(a+b+c)]X \geq (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 = 16$$

ดังนั้น $$X \geq \frac{16}{a^2(b+c+d) + b^2(c+d+a) + c^2(d+a+b) + d^2(a+b+c)]}$$ $$= \frac{16}{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d) - (a^3+b^3+c^3+d^3)}$$

จาก Power Mean จะได้ว่า $a+b+c+d \leq 4$ และ $a^3+b^3+c^3+d^3 \geq 4$

ดังนั้น $$X \geq \frac{16}{4 \cdot 4 - 4} = \frac{4}{3}$$

ดังนั้นค่าต่ำสุดของพจน์ที่ให้มาคือ $\displaystyle \frac{4}{3} + 3 \sqrt{2}$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $a=b=c=d=1$
__________________
Fearless courage is the foundation of all success
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 01 เมษายน 2016, 19:51
ohmohm ohmohm ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 กันยายน 2013
ข้อความ: 47
ohmohm is on a distinguished road
Default

ข้อ 3

ขอพิสูจน์ก่อนว่า ถ้า a ลงท้ายด้วย 1 (นั้นคือหารด้วย 10 ได้เศษ 1) และ a หารด้วย m ได้เศษ 1 แล้ว $a^{10}$ หารด้วย 10m จะได้เศษ 1

จากที่กล่าวมา a หารด้วย m ได้เศษ 1 ก็จะมี k เป็นจำนวนเต็ม ที่ทำให้
$a=1+mk$
$a-1=mk$
$(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)=mk(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$
$a^{n}-1=mk(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$
$a^{n}=1+mk(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$

ถ้า n=10 เนื่องจาก a ลงท้ายด้วย 1 ยกกำลังอะไร ก็จะลงท้ายด้วย 1 และถ้าบวกกัน 10 ตัว ก็จะลงท้ายด้วย 0 นั้นคือ $(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$ หารด้วย 10 ลงตัว ผลหารนั้นกำหนดเป็น q จะได้
$a^{n}=1+10mkq$

นั้นคือ $a^{10}$ หารด้วย 10m จะได้เศษ 1 เมื่อ a ลงท้ายด้วย 1

เนื่องจาก a หารด้วย 10 แล้วจะได้เศษ 1 (เพราะกำหนดให้ a ลงท้ายด้วย 1) และจากการพิสูจน์ที่กล่าวมา ก็จะพบว่ามี n ที่ทำให้ $a^n$ หารด้วย 100, 1000, 10000, ... จะได้เศษ 1 ด้วยเช่นกัน

เนื่องด้วยว่า $3^4 = 81$ ... (ไปต่อจากนี้เองได้นะครับ)

01 เมษายน 2016 20:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ohmohm
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 02 เมษายน 2016, 16:45
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

ข้อ 3 ง่ายกว่านี้ก็มีครับ โดยหลักรังนกพิราบ จะได้ว่ามี $m,n\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $m>n$ และ $10000\mid 3^m-3^n$

ดังนั้น $10000\mid 3^n(3^{m-n}-1)$ ซึ่งทำให้ $10000\mid 3^{m-n}-1$ นั่นคือ $3^{m-n}$ ลงท้ายด้วย $0001$ ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ข้อสอบ สพฐ. มัธยมต้น รอบ1 เขตพื้นที่ ปี 2559 PoomVios45 ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น 18 08 ธันวาคม 2018 10:00
IJSO 2559 กบแง้มกะลา ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น 49 30 กันยายน 2017 21:59
ข้อสอบ สพฐ ประถมรอบที่ 1 ปี2559 คusักคณิm ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย 11 05 มีนาคม 2016 22:04
สอบแข่งขันของสมาคมคณิตศาสตณืประจำปี 2559 ประกาศแล้วครับ poonnamar ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย 1 25 พฤษภาคม 2015 17:00

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:19


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha