งง เรื่อง limit นิดหน่อยครับ

[A.DreN@l_ine]

พอดีไปอ่านบทความจากพระตะบองก็เลยงง อะครับ

ตกลง A หรือ B ถูกอะครับ แล้วถูก/ผิด เพราะอะไร

[mebius]

งั้นลองหาค่าทีละน้อยๆก่อนดีไหมครับ
$\frac{1}{1^2}=1$
$ \frac{1+2}{2^2}=\frac{3}{4} $
$ \frac{1+2+3}{3^2}=\frac{6}{9} $
$ \frac{1+2+3+4}{4^2}=\frac{10}{16} $
.
.
.$ \frac{1+2+...+10}{10^2}=\frac{55}{100} $
ถ้าทำต่อไปเรื่อยๆ ค่าจะเข้าใกล้ 0.5 น่ะครับ

[-InnoXenT-]

ผมว่า นาย B ผิดนะครับ

เนื่องด้วยพจน์สุดท้าย มันเป็น $\frac{\infty}{\infty}$ นี่นา

[Hirokana]

เข้ามานอนยันครับ นาย B ผิด 100%

เนื่องจาก การแจกลิมิตการบวกในที่นี้แจกไม่ได้ครับ เพราะพจน์นั้นยังขึ้นกับค่า n อยู่เลย ไปแจกทั้งที่ยังไม่ทราบจุดสุดท้ายที่แน่นอน

จำเป็นต้องหาวิธีการใหม่ ซึ่งวิธีของ นาย A เป็นวิธีนึงครับ

ถ้าอยากรู้เรื่องลิมิตละเอียดลองหาอ่านจำพวก

ลิมิตของฟังก์ชันเพิ่มก็ได้นะครับจะเข้าใจในส่วนนี้มากขึ้น

ตัวอย่างง่ายๆที่น่าสนใจก็คือ

$$ \lim_{n\to\infty} \left(\,1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\,...\,+\frac{1}{2^n}\right) $$

[A.DreN@l_ine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hirokana

เข้ามานอนยันครับ นาย B ผิด 100%

เนื่องจาก การแจกลิมิตการบวกในที่นี้แจกไม่ได้ครับ เพราะพจน์นั้นยังขึ้นกับค่า n อยู่เลย ไปแจกทั้งที่ยังไม่ทราบจุดสุดท้ายที่แน่นอน

จำเป็นต้องหาวิธีการใหม่ ซึ่งวิธีของ นาย A เป็นวิธีนึงครับ

ถ้าอยากรู้เรื่องลิมิตละเอียดลองหาอ่านจำพวก

ลิมิตของฟังก์ชันเพิ่มก็ได้นะครับจะเข้าใจในส่วนนี้มากขึ้น

ตัวอย่างง่ายๆที่น่าสนใจก็คือ

$$ \lim_{n\to\infty} \left(\,1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\,...\,+\frac{1}{2^n}\right) $$

ผมเริ่มถูกไหมเนี่ยครับ

$$ \lim_{n\to\infty} \left(\,1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\,...\,+\frac{1}{2^n}\right) $$
$$ \lim_{n\to\infty} \left(\,\frac{2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+...+1}{2^n}\right)$$
เริ่มตันครับ เข้าอีหรอบเดิม

[Amankris]

#4
ผมว่าแจกการบวกได้นะ (แม้ว่าแต่ละพจน์จะมี $n$ อยู่ก็ตาม)


จุดที่ผิดจริงๆก็คือ

การนำ 0 จำนวนอนันต์ตัว มาบวกกัน ผลลัพธ์เป็น indeterminate form ครับ (ไม่ใช่บวกกันได้ 0)

[7o'clock]

#5
มองเป็นลำดับเรขาคณิตสิครับ

[Hirokana]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#4
ผมว่าแจกการบวกได้นะ (แม้ว่าแต่ละพจน์จะมี $n$ อยู่ก็ตาม)

จุดที่ผิดจริงๆก็คือ

การนำ 0 จำนวนอนันต์ตัว มาบวกกัน ผลลัพธ์เป็น indeterminate form ครับ (ไม่ใช่บวกกันได้ 0)

ผมทำความเข้าใจตามที่เคยเรียนมานะครับ

แต่ถ้าพิจารณาตามที่ พี่บอกก็อาจจะเป็นได้ครับ ขอบคุณครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#4

การนำ 0 จำนวนอนันต์ตัว มาบวกกัน ผลลัพธ์เป็น indeterminate form ครับ (ไม่ใช่บวกกันได้ 0)

มี reference มั้ยครับ ว่ารูปแบบที่ว่าจัดอยู่เป็น indeterminate form

[Amankris]

#9
จัดเป็นรูป $0\cdot\infty$ ได้ครับ

[หยินหยาง]

#10
ผมไม่ได้ต้องการให้จัดรูปให้ดูครับ เพราะเข้าใจได้ว่าน่าจะเป็นแบบ #9 ที่แสดง แต่ผมเพียงอยากรู้ว่ามี textbook หรือแหล่งอ้างอิงใดหรือโจทย์ตัวอย่างไหนที่แปลงแบบที่ว่าครับ
เพราะที่ผมเข้าใจ $0\cdot\infty$ นั้นมาจาก $f(x)*g(x)$ แต่ืที่ผมสงสัยก็เพราะว่า $1+2+3+...n$ มันมาจากฟังก์ชันคือ $f(x) $ และถ้าให้ $g(x) = n^2$ มันน่าจะอยู่ในรูปของ $\frac{\infty }{\infty } $ ถ้ามองว่าอยู่ในรูปแบบ indeterminate form
ขอบคุณครับ

[t.B.]

โดยนิยามการแจกลิมิตเข้าไปนั่น $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} $ ได้นั้น ก็ต่อเมื่อ $\lim_{x \to a} f(x) $ และ $\lim_{x \to a} g(x) $ หาค่าได้ค่า ส่วนกรณี $\lim_{x \to \infty} (f(x)+g(x)) $ก็เช่นเดียวกัน lim ของแต่ละส่วนย่อยต้องหาค่าได้ถึงจะกระจายแล้วเท่ากับก่อนกระจาย เช่น $\lim_{x \to \infty} 1 \not= \lim_{x \to \infty} (1-x) + \lim_{x \to \infty} x $ ซึ่ง LHS. ได้ 1 แต่ RHS. หาค่าไม่ได้

และตรงวิธีของนาย B เหตุผลก็ผิดอย่างที่คุณ Amarkris บอกไว้แหละครับ
สังเกตว่า การรู้ว่า limได้ 0 นั้นไม่ได้แปลว่า ค่าของมันจะเป็น0 แค่ลู่เข้า 0 ดังนั้นเอาค่าลู่เข้า 0 หลายๆตัวมากบวกกัน ค่าจะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ แล้วยิ่งบวกกันอนันต์ตัว ก็มีโอกาสทำให้ไม่ลู่เข้า 0 ได้ครับ

ซึ่งแน่นอนว่า ถ้า 0 นั้นหมายถึง ค่า 0 จริงๆไม่ใช่แค่ลู่เข้า เอามาบวกกันกี่ตัวก็ยังเป็น 0 อยู่ดีครับ แต่ในที่นี้มันแค่ไม่ได้เป็น 0 จริงๆ เพียงแต่ลู่เข้าสู่ 0

[A.DreN@l_ine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hirokana

เข้ามานอนยันครับ นาย B ผิด 100%

เนื่องจาก การแจกลิมิตการบวกในที่นี้แจกไม่ได้ครับ เพราะพจน์นั้นยังขึ้นกับค่า n อยู่เลย ไปแจกทั้งที่ยังไม่ทราบจุดสุดท้ายที่แน่นอน

จำเป็นต้องหาวิธีการใหม่ ซึ่งวิธีของ นาย A เป็นวิธีนึงครับ

ถ้าอยากรู้เรื่องลิมิตละเอียดลองหาอ่านจำพวก

ลิมิตของฟังก์ชันเพิ่มก็ได้นะครับจะเข้าใจในส่วนนี้มากขึ้น

ตัวอย่างง่ายๆที่น่าสนใจก็คือ

$$ \lim_{n\to\infty} \left(\,1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\,...\,+\frac{1}{2^n}\right) $$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ 7o'clock

#5
มองเป็นลำดับเรขาคณิตสิครับ

ขอบคุณครับอย่างนี้รึเปล่าครับ
$$ \lim_{n\to\infty} \left(\,1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\,...\,+\frac{1}{2^n}\right) $$
$$ \lim_{n\to\infty} \left(\,\frac{1(1-\frac{1}{2^n})}{\frac{1}{2}}\right) $$
$$=2$$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

โดยนิยามการแจกลิมิตเข้าไปนั่น $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} $ ได้นั้น ก็ต่อเมื่อ $\lim_{x \to a} f(x) $ และ $\lim_{x \to a} g(x) $ หาค่าได้ค่า ส่วนกรณี $\lim_{x \to \infty} (f(x)+g(x)) $ก็เช่นเดียวกัน lim ของแต่ละส่วนย่อยต้องหาค่าได้ถึงจะกระจายแล้วเท่ากับก่อนกระจาย เช่น $\lim_{x \to \infty} 1 \not= \lim_{x \to \infty} (1-x) + \lim_{x \to \infty} x $ ซึ่ง LHS. ได้ 1 แต่ RHS. หาค่าไม่ได้

และตรงวิธีของนาย B เหตุผลก็ผิดอย่างที่คุณ Amarkris บอกไว้แหละครับ
สังเกตว่า การรู้ว่า limได้ 0 นั้นไม่ได้แปลว่า ค่าของมันจะเป็น0 แค่ลู่เข้า 0 ดังนั้นเอาค่าลู่เข้า 0 หลายๆตัวมากบวกกัน ค่าจะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ แล้วยิ่งบวกกันอนันต์ตัว ก็มีโอกาสทำให้ไม่ลู่เข้า 0 ได้ครับ

ซึ่งแน่นอนว่า ถ้า 0 นั้นหมายถึง ค่า 0 จริงๆไม่ใช่แค่ลู่เข้า เอามาบวกกันกี่ตัวก็ยังเป็น 0 อยู่ดีครับ แต่ในที่นี้มันแค่ไม่ได้เป็น 0 จริงๆ เพียงแต่ลู่เข้าสู่ 0

ชัดเจนครับ ขอบคุณมากครับ

[หยินหยาง]

ก่อนที่จะไปกันใหญ่ประเด็นของผมที่สงสัยไม่ได้อยู่ที่คำตอบของข้อนี้ เพราะคำถามของข้อนี้เค้าถามตอนท้ายว่า งง ไหม คำตอบง่ายมาก อ่านแล้วไม่รู้เรื่องก็ตอบว่า งง อ่านแล้วรู้เรื่องก็ตอบว่า ไม่งง ไม่ต้องคิดมาก

เอาประเด็นที่ผมถามเพราะไม่งั้นจะตอบกันไม่ตรงประเด็น คงไม่ต้องสงสัยว่าใครทำถูกหรือทำผิด เพราะน่าจะรู้ได้อยู่แล้วว่า B ทำผิด เพียงแต่ว่าเหตุผลที่คุณ Amankris ให้ไว้คือ บอกว่าแจกแจงได้ และแจกแจงแล้วไปเข้าอยู่ในรูปของ $0\cdot\infty$ (indeterminate form ) เพราะต้องเข้าใจซะก่อนว่าเรื่องลิมิตเป็นเรื่องของฟังก์ชัน ที่มีค่าของ x ลู่เข้าค่าๆ หนึ่ง แล้วดูว่า f(x) นั้นมีค่าหรือไม่ คือสิ่งที่เราสนใจและพูดถึงในเรื่องนี้ ส่วน ทบ.และ เทคนิคต่างๆ ก็สามารถหาอ่านได้ และเนื่องจากลิมิต เป็นค่าประมาณการ ของ f(x) ดังนั้นบางครั้งที่เราดูเหมือนว่าค่าที่แทนลงไปแล้วหาค่าไม่ได้อาจหาค่าได้ นักคณิตศาสตร์จึงได้พูดถึงรูปแบบที่อยู่ในรูป indeterminate form สามารถศึกษาได้จาก http://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form เป็นต้น ว่าถ้าอยู่ในรูปแบบนี้ ก็ยังสรุปไม่ได้ วิธีการหาค่าลิมิตประเภทนี้ก็มีหลักง่ายๆ ที่เรียนกัน คือ การจัดรูปแล้วกำจัดตัวแปรที่สามารถทำได้ หรือการใช้สังยุค เพื่อให้รูปแบบที่มีอยู่ไม่ได้อยู่ในรูปแบบ ของ indeterminate form หรือใช้กฎของ โลปิตาล เป็นต้น ผมจึงสงสัยว่ารูปแบบ ของ 0 บวกกัน อนันต์ตัวนั้นเป็น indeterminate form หรือไม่ เพราะผมไม่เคยเห็นตำราไหนเขียนไว้แบบนี้ เลยเขียนขอความรู้ เหมือนครั้งหนึ่งที่ผมเคยเข้าใจว่า $\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ สามารถหาค่าได้โดยใช้ กฎของโลปิตาล ซึ่งจริงๆผิด (และคุณ Top ได้ให้วิทยาทานในครั้งนั้น ซึ่งอันที่จริงในตอนนั้นกระทู้เรื่องนี้มีการเอามาถามก่อนหน้าโดยคุณ warut แล้ว) แต่ต้องพิสูจน์ทางเรขาถึงจะถูก ไม่สามารถใช้ โลปิตาล ได้ แต่ก็จะพบได้ในหนังสือบางเล่มหรือเว็บไซต์หลายแห่ง ที่อ้างถึงการใช้ กฎของโลปิตาล ถ้าสนใจก็ลองค้นหากระทู้เก่าดูครับ
กับมาที่โจทย์ของข้อนี้ ผมเข้าใจว่าโจทย์ของข้อนี้ผู้ออกข้อสอบต้องการทดสอบความรู้ของเด็กว่าเข้าใจรูปแบบของ indeterminate form $(\frac{\infty }{\infty })$ และมีวิธีการหาค่าเป็นหรือไม่ ซึ่งผมได้กล่าวไว้ในตอนต้นแล้วเกี่ยวกับเทคนิคการหาค่าเมื่ออยู่ในรูปแบบของ indeterminate form