มาช่วยกันคิดครับ โจทย์ของ Putnam

[หงส์ดรุณ]

จงหาลิมิตของ

$a_n = \frac{(2^3 - 1)(3^3 - 1)(4^3 - 1).....(n^3 - 1)}{(2^3 + 1)(3^3 + 1)(4^3 + 1).....(n^3 + 1)}$

[-InnoXenT-]

แยกตัวประกอบตัดกันมันส์เลย

ตอบ $2$ รึเปล่า ไม่แน่ใจ - -

[หงส์ดรุณ]

ตอบ $\frac{2}{3}$ ลองคิดดูใหม่ 555+

ข้อนี้ถ้ามองออกก็จบครับเป็นลำดับคอนตัดกันมันส์มาก

[MiNd169]

ได้ $\frac{2}{3}$ เหมือนกันครับ

[-InnoXenT-]

ครับ ผมตัดผิดนิดหน่อย -.-

[khlongez]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หงส์ดรุณ

จงหาลิมิตของ

$a_n = \frac{(2^3 - 1)(3^3 - 1)(4^3 - 1).....(n^3 - 1)}{(2^3 + 1)(3^3 + 1)(4^3 + 1).....(n^3 + 1)}$

ให้หาลิมิตอนันต์เปล่าคระ ถ้าใช่ก็น่าจะตอบ$\frac{2}{3}$นะ

จาก $x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$

เราก็แบ่งโจทย์ออกเป็นสองส่วนคูณกันคือ

$a_n = (\frac{(2 - 1)(3 - 1)(4 - 1).....(n - 1)}{(2 + 1)(3 + 1)(4 + 1).....(n + 1)}) \bullet (\frac{(2^2+2+1)(3^2+3+1)(4^2+4+1)...(n^2+n+1)}{(2^2-2+1)(3^2-3+1)(4^2-4+1)...(n^2-n+1)})
$

$a_n = (\frac{(1)(2)(3)...(n-1)}{(3)(4)(5)...(n+1)}) \bullet (\frac{(7)(13)(21)...(n^2+n+1)}{(3)(7)(13)...(n^2-n+1)} )$ ; แล้วมันจะตัดกันหมด

เหลือแค่นี้

$$a_n = \frac{2(n^2+n+1)}{3(n)(n+1)} $$

แล้วเทคลิมิต $n\rightarrow\infty $ ได้ $\frac{2}{3}$ น่ะคร่ะ