มีสูตรลัดในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับหลายชั้นมั้ยครับ

[pitinata]

สวัสดีครับ

อธิบายสูตรลัดในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับแบบนี้ทีครับ ว่ามันมาจากได้ยังไง

$a_n = a_1 + \binom{n-1}{1} d_1 + \binom{n-1}{2} d_2 + \binom{n-1}{3} d_3 $

ตัวอย่างเช่น

2 9 28 65 126 ...

ขอบคุณครับ ^^

[poper]

ถ้าลองเขียนลำดับแล้วเขียนผลต่างร่วมทั้ง 3 ชั้น จากนั้นก็หาความสัมพันธืได้ดังนี้ครับ
ให้ $d_1=7,d_2=12,d_3=6$ จะได้ว่า
$$a_1=2$$
$$a_2=2+7=a_1+d_1$$
$$a_3=2+7+19=2+2(7)+12=a_1+2d_1+d_2$$
$$a_4=2+7+19+37=2+3(7)+12+30=2+3(7)+2(12)+18=2+3(7)+3(12)+6=a_1+3d_1+3d_2+d_3$$
หลักการก็คือเขียนผลบวกของพจน์ใดๆในรูปของพจน์แรกบวกกับผลต่างชั้นแรกก่อน
จากนั้นค่อยกระจายผลต่างจากตัวหลังสุดไปให้ตัวก่อนหน้าเป็นจำนวนเท่ากับตัวหน้าไปเรื่อยๆ เช่น
$a_3=2+7+19$(พจน์แรกบวกกับผลต่างในชั้นแรก 2 ตัว)
$=2+2(7)+12$(กระจาย19 มาให้ตัวหน้า 7 เหลือ 12 ซึ่งจะเท่ากับ $d_2$ พอดี จบ)
$a_4=2+7+19+37$(พจน์แรกบวกกับผลต่างในชั้นแรก 3 ตัว)
$=2+3(7)+12+30$(กระจาย 19 และ 37 มาให้ตัวหน้า 7 เหลือ 12 กับ 30 )
$=2+3(7)+2(12)+18$(กระจาย 30 มาให้ตัวหน้า 12 เหลือ 18 ยังกระจายต่อได้)
$=2+3(7)+3(12)+6$(กระจาย 18 ให้ตัวหน้าอีก 12 เหลือ 6 ซึ่งเท่ากับ $d_3$ พอดี จบ)
เมื่อทำแบบนี้ไปเรื่อยๆจะอยู่ในรูป $a_n=a_1+md_1+nd_2+rd_3$ เสมอและ m,n,r เป็นเลขทวินามจึงได้สูตรตามนั้นครับ