การจัดหมู่

[ประเวศ]

แคปิตอลแห่งหนึ่งมีเขตปกครองควบคุม 12 เขต แต่ละเขตต้องส่งผู้แทนเป็นเครื่องบรรณาการเขตละ 2 คน เป็นชาย 1 คน และ เป็นหญิง 1 คน ถ้าต้องการคัดเลือกผู้รอดตาย 4 คน เพื่อไปตีดัมมี่ เป็นชาย 2 คน และ หญิง 2 คน จากตัวแทนทั้ง 12 เขต โดยในบรรดาผู้รอดตายทั้ง 4 คนนี้ จะต้องเป็นชายและหญิงอย่างน้อย 1 คู่ ที่มาจากเขตเดียวกัน จะมีวิธีคัดเลือกได้ทั้งหมดกี่วิธี
ก. 1320
ข. 1342
ค. 1364
ง. 1386

ผมทำโดยมัดชายหญิงเของแตละเขตป็นคู่ได้ 12 คู่ จึงมี 12 วิธีในการเลื่อกชายหญิง 1 คู่จาก 12 เขต
เหลือ ชาย 11 คน จึงมี 11 วิธีในการเลือกชาย 1 คน จาก 11 เขตที่เหลือ
เหลือ หญิง 11 คน จึงมี 11 วิธีในการเลือกหญิง 1 คน จาก 11 เขตที่เหลือ
ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดจึงน่าจะเท่ากับ 12 x 11 x 11 = 1452 วิธี
แต่ไม่มีตัวเลือก ข้อนี้ทำอย่างไรอะครับ

[ประเวศ]

ผมดูเฉลยแล้วยังไม่ get

C(12,1) คือ มี 12 คู่ เลื่อก 1 คู่ ได้ 12! / (12-1)! * 1! ได้ 12 วิธี
แล้ว C(1,1) คืออะไร ต่อมา C(11, 1), C(1,1), C(10,1) และ C(1,1) มันคืออะไรอะครับ

ถ้าให้เลือก 2 คู่ เลย ก็เลือก C(12,2) ได้ 12! / (12-2)! * 2 ได้ 66 วิธี
แล้ว C(2,2) * C(2,2) คืออะไรอะครับ

ช่วยอธิบายอีกนิดนะครับ

[Sirius]

กรณีที่มีคู่ชายหญิงที่มาจากเขตเดียวกัน 1 คู่
1.เลือกเขตที่จะมีคู่ชายหญิงที่ไปตีดัมมี่ได้ 12 วิธี
2.เลือกเขตที่จะมีชาย 1 คนที่ไปตีดัมมี่ได้ 11 วิธี
3.เลือกเขตที่จะมีหญิง 1 คนไปตีดัมมี่ได้ 10 วีธี (ต้องไม่ซ้ำกับเขตในข้อ 2.)
ดังนั้นกรณีนี้มี $12\times 11\times 10=1320$ วิธี

กรณีที่มีคู่ชายหญิงที่มาจากเขตเดียวกัน 2 คู่
เลือกมา 2 เขตจาก 12 เขตที่จะมีคู่ชายหญิง ได้ $\binom{12}{2}=66$ วิธี

ดังนั้นมีทั้งหมด $1320+66=1386$ วิธี

[ประเวศ]

ขอบคุณมากมากครับ

[kongp]

ท.บ. ขั้นสูงกว่านี้หาอ่านเริ่มยาก ทำจากเบสิกเท่าที่จำเป็นไปละครับ เหมือนเริ่มใหม่ เช่น

- วัด Entropy ของปัญหาในโจทย์ก่อน
- คุณลักษณะซึ่งมีได้หลายสูตรในปัญหาหนึ่ง ต้องถูกวิเคราะห์ต่อไป

ปล. Ex. C เขตxชายxหญิง หรือเท่ากับ P เขต -1

[kongp]

ในโจทย์เตรียมโอลิมปิค จะต่อยอดจากสมการที่ผมบอกไป โดยให้พิสูจน์สมการ Ex นั้น

ในระดับโอลิมปิคที่ผมเคยเห็นจะมีการใช้รูปแบบจำนวนเฉพาะและจำนวนอื่นๆ เริ่มคิดกัน

ส่วนหนึ่งใช้การพิสูจน์แบบขัดแย้ง ซึ่งไม่ดีเลย แต่เด็กๆ ที่เตรียมสอบ จะเจอข้อสอบจำนวนมาก ก็เคยต้องใช้การพิสูจน์แบบขัดแย้ง