อนุกรมอนันต์ ช่วยทีครับ

[B บ ....]

\sum_{n = 1}^{\infty}[sin (n\pi - \pi /2) + (-1)ยกกำลัง n+1 ทั้งหมดส่วน (-1) ยกกำลัง n+2 คูณ -3]ทั้งหมดยกกำลัง n
ใครคิดได้ช่วยคิดให้ดูหน่อยครับ คิดแล้วแต่งง โดยเฉพาะตรง ค่า sin มันเหมือนมันได้ 1 สลับกับ -1 แล้วจะเลือกใช้ค่าไหน ? ครับ

[Ne[S]zA]

งงกับโจทย์ครับแบบนี้ไหมครับ
$$\sum_{n=1}^{\infty } [\dfrac{\sin (n\pi-\frac{\pi}{2})+(-1)^{n+1}}{(-3)(-1)^{n+2}}]^n$$

[B บ ....]

ใช่ครับบบบ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

ใช่ครับบบบ

ผมเก่งที่เดาโจทย์ถูกแต่ไม่เก่งพอที่จะแก้ข้อนี้ รอท่านอื่นมาคิดครับ

[B บ ....]

อ้อ ไม่เป็นไร ขอบคุณ คราบบบบ

ใครคิดได้ ช่วยหน่อยย

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

งงกับโจทย์ครับแบบนี้ไหมครับ
$$\sum_{n=1}^{\infty } [\dfrac{\sin (n\pi-\frac{\pi}{2})+(-1)^{n+1}}{(-3)(-1)^{n+2}}]^n$$

สังเกตว่า $\sin{\left(n\pi-\frac{\pi}{2}\right)}=(-1)^{n+1}$
$\displaystyle\therefore\sum_{n=1}^{\infty } [\dfrac{\sin (n\pi-\frac{\pi}{2})+(-1)^{n+1}}{(-3)(-1)^{n+2}}]^n=\sum_{n=1}^{\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^n=2$

[nooonuii]

ไม่ยากอย่างที่คิดครับ แปลง เทอมที่มี $sine$ ให้ออกก็ได้แล้วล่ะครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

อ้อ ไม่เป็นไร ขอบคุณ คราบบบบ

ใครคิดได้ ช่วยหน่อยย

ผมนึกออกแล้วครับ
ลองแทนค่า
$$n=1;[\dfrac{\sin (\pi-\frac{\pi}{2})+1}{(-3)(-1)}]^1=\frac{2}{3}$$
$$n=2;[\dfrac{\sin (2\pi-\frac{\pi}{2})-1}{(-3)(1)}]^2=(\frac{2}{3})^2$$
$$n=3;[\dfrac{\sin (3\pi-\frac{\pi}{2})+1}{(-3)(-1)}]^3=(\frac{2}{3})^3$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
ได้ว่า
$$\sum_{n=1}^{\infty} [\dfrac{\sin (n\pi-\frac{\pi}{2})+(-1)^{n+1}}{(-3)(-1)^{n+2}}]^n=\frac{2}{3}+(\frac{2}{3})^2+(\frac{2}{3})^3+...$$
$$S_{\infty }=\frac{2}{3}+(\frac{2}{3})^2+(\frac{2}{3})^3+...$$
จากสูตร $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}$
ได้ว่า $a_1=\frac{2}{3} $ และ $r=\frac{2}{3}$
ดังนั้น
$$S_{\infty }=\frac{2}{3}+(\frac{2}{3})^2+(\frac{2}{3})^3+...=\dfrac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=2$$
$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty} [\dfrac{\sin (n\pi-\frac{\pi}{2})+(-1)^{n+1}}{(-3)(-1)^{n+2}}]^n=2$$
ปล.ไม่ทราบว่าถูกไหมนะครับ

[B บ ....]

อ้อ จริงแทนค่่าเรื่อยๆทีละ n ก็ออกนิครับ 555+ แย่จัง
ทีแรกงง เพราะ ดูค่า sin มันสลับระหว่าง 1 กับ -1 เลยนึว่ามันจาเป็น Divergent
จึงไม่ได้สนใจแทนส่วนอื่นของโจทย์