ช่วยคิดโจทย์ real number ด้วยครับ

[pluto]

[★★★☆☆]

1. พิจารณา L.H.S. เงื่อนไขที่ทำให้จำนวนที่อยู่ใ้ต้เครื่องหมายกรณฑ์มีความหมายคือ

$x^2-3x-1\ge 0 \cap x^2-3x-2\ge 0 \cap x^2-3x-3\ge 0 \cap x^2-3x-4\ge 0 $

จะได้ $x\le -1 \cup x \ge 4$ มาจากอสมการสุดท้ายเป็นตัวคุม

นั่นคือถ้า $x \ge 4$ แล้ว $x^2-3x-4\ge 0 $

ดังนั้น $\sqrt{x^2-3x-4} \ge \sqrt{0} $

ทำนองเดียวกัน

$\sqrt{x^2-3x-3} = \sqrt{x^2-3x-4 + 1} \ge \sqrt{1}$

$\sqrt{x^2-3x-2} = \sqrt{x^2-3x-4 + 2} \ge \sqrt{2}$

$\sqrt{x^2-3x-1} = \sqrt{x^2-3x-4 + 3} \ge \sqrt{3}$

ดังนั้น L.H.S. $\ge 0 + 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$

แต่ $0 + 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ มีค่าประมาณ 3.กว่า ๆ >= 3 ชัดเจน

ในทำนองเดียวกับเมื่อ $x \le -1$

ดังนั้นอสมการดังกล่าวเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง x ซึ่ง $x\le -1$ หรือ $x \ge 4$

[★★★☆☆]

ข้อ 2. $x^{1/2} + (x-1)^{1/3} = 1$

ชัดเจนว่า $x \ge 0$ จะทำให้ $x^{1/2}$ มีความหมาย แต่ $x\ne 0 $ ดังนั้น $x > 0$ เป็นช่วงที่พิจารณา

เห็นได้ชัดว่า x = 1 เป็นคำตอบหนึ่ง จะแสดงว่า x = 1 เป็นคำตอบเดียว (ที่เ็ป็นจำนวนจริง) เท่านั้น

กรณีที่ 1 : $0 \lt x \lt 1$

จะได้ $0 \lt x^{1/2} \lt 1$

และ $-1<(x - 1)< 0 \Rightarrow -1<(x - 1)^{1/3}< 0$

ดังนั้น $-1<x^{1/2} + (x-1)^{1/3}<1$

กรณีที่ 2 : $x > 1$

จะได้ $x^{1/2} > 1$

และ $(x-1)^{1/3} >0$

ดังนั้น $x^{1/2} + (x-1)^{1/3} > 1$

จึงเป็นไปไม่ได้

ข้่อนี้เหมือนกับข้อนี้ครับ.

http://www.mathcenter.net/forum/show...ewpost&t=11118

[poper]

ข้อ 2 อีกวิธีนึงครับ
ให้ $\sqrt[3]{x-1}=a$ จะได้ $\sqrt{x}=\sqrt{a^3+1}$
$$\sqrt{a^3+1}+a=1$$ $$\sqrt{a^3+1}=1-a$$ $$a^3+1=1-2a+a^2$$ $$a^3-a^2+2a=0$$ $$a(a-2)(a+1)=0$$
ดันั้น $a=0,2,-1$ $x=1,0,9$
แต่ x=0,9 ไม่ใช่คำตอบ $\therefore x=1$