หาพื้นที่สี่เหลี่ยม

[ประเวศ]

กำหนดให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

P, Q เป็นจุดแบ่งครึ่ง AB และ BC ตามลำดับ

AQ และ CP ตัดกันที่จุด R

้ถ้า AC = 6 หน่วย และมุม ARC = 150 องศา

แล้วพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากับเท่าใด

คำตอบคือ 8 คูณ รูทที่สองของ 3


รบกวนช่วยเฉลยด้วยครับ ขอบคุณครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ประเวศ

กำหนดให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

P, Q เป็นจุดแบ่งครึ่ง AB และ BC ตามลำดับ

AQ และ CP ตัดกันที่จุด R

้ถ้า AC = 6 หน่วย และมุม ARC = 150 องศา

แล้วพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากับเท่าใด

คำตอบคือ 8 คูณ รูทที่สองของ 3

รบกวนช่วยเฉลยด้วยครับ ขอบคุณครับ

My_solution

ให้ A อยู่มุมล่างซ้าย, B อยู่ล่างขวา

ให้ $AP = PB = x , BQ = QC = y$

จะได้ $(2x)^2 + (2y)^2 = 6^2 \Rightarrow x^2+y^2 = 9 ... (*)$

โจทย์ต้องการหา $4xy ... (**)$

$\tan \theta_1= \frac{y}{2x}, \tan \theta_2 = \frac{2y}{x}$

เมื่อ $\theta_1, \theta_2 $ เป็นมุมที่เส้นตรง AQ และ PC ทำกับแกน+x ในทิศทวนเข็มนาฬิกา

และเนื่องจาก $\theta_2 - \theta_1 = 30^{\circ} \Rightarrow \tan(\theta_2 - \theta_1) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{\frac{2y}{x} - \frac{y}{2x}}{1+\frac{2y}{x}\cdot\frac{y}{2x}}$จะได้ $xy = 2\sqrt{3}$ ดังนั้น $4xy = 8\sqrt{3}$

[ประเวศ]

ขอบคุณมากครับ