>:integrate(sqrt(tan(x)),x);

[ลูกชิ้น]

ใครที่หาค่าของ $\int\sqrt{tan x} dx $ ได้ ช่วยโพสต์หน่อยครับ
เอาที่หาด้วยมือนะ ไม่เอาด้วยคณิตกรณ์ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ลูกชิ้น

ใครที่หาค่าของ $\int\sqrt{tan x} dx $ ได้ ช่วยโพสต์หน่อยครับ
เอาที่หาด้วยมือนะ ไม่เอาด้วยคณิตกรณ์ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

ทำให้ดูเป็นแนวทางละกันครับ ที่เหลือน่าจะต่อได้ไม่ยาก

$u^2=\tan{x}$

$u^4=\tan^2{x}=\sec^2{x}-1$

$\sec^2{x}=u^4+1$

$2udu=\sec^2{x}dx=(u^4+1)dx$

$\int\sqrt{\tan{x}}\,dx=\int\dfrac{2u^2}{u^4+1}\,du$

จากนั้นแยกเศษส่วนย่อยในรูป

$\dfrac{u^2}{u^4+1}=\dfrac{Au+B}{u^2-\sqrt{2}u+1}+\dfrac{Cu+D}{u^2+\sqrt{2}u+1}$

ที่เหลือก็น่าจะทำต่อได้แล้วล่ะครับ

[ลูกชิ้น]

คือผมได้
$$\frac{\sqrt{2}}{4}ln\left|\,\frac{tanx-\sqrt{2tanx}+1}{tanx+\sqrt{2tanx}+1} \right|+\frac{\sqrt{2}}{2}arctan(\sqrt{2tanx}-1)+\frac{\sqrt{2}}{2}arctan(\sqrt{2tanx}+1)$$

แต่ใช้เครื่องแล้วมันได้
$$ \frac{1}{2}\frac{\sqrt{tanx}cosx\sqrt{2}arccos(cosx-sinx)}{\sqrt{cosxsinx}}+\frac{\sqrt{2}}{2}ln(cosx+\sqrt{2tanx}cosx+sinx) $$

ผมเลยสงสัยว่ามันต่างตรงค่าคงที่หรือ มันเปลี่ยนรูปได้เลย (ถ้าเปลี่ยนได้แล้วเปลี่ยนยังไงหว่า)
รบกวนผู้อาวุโส nooonuii ชี้แนะด้วยครับ