สอบ ค่าย 2 ศูนย์สวนกุหลาบ เป็นไงกันบ้างครับ

[Form]

#14 ขอบคุณครับ ผมfail ละ 555
#15 กลัว NT ครับ 555+

[polsk133]

วันนี้มำไปได้ถึงครึ่งรึเปล่ายังไม่รู้ TT แย่ๆ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

FE solution

1.

$(m^2+f(n))k=f(m)^2+n$

แทน $m=n$ จะได้ $m^2k+kf(m)=f(m)^2+m$ จัดรูปไปมาหา $f(m)$ ในรูป m จะได้

$f(m)=\dfrac{k \pm \sqrt{k^2-4m(1-k)}}{2}$ สำหรับทุกจำนวนนับ m

ดังนั้น $\sqrt{k^2-4m(1-k)}$ เป็นจำนวนเต็มสำหรับทุกๆ m

ดังนั้น $k=1$

จะได้ $f(m)=m$

2. (incomplete)

เปลี่ยนระบบสมการใหม่ โดยแทย x เป็น f(x) ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความ $f(x-f(y))=f(f(y))-2xf(y)+f(x)$

$P(f(x),y) ; f(f(x)-f(y))=f(f(y))-2f(x)f(y)+f(f(x))$------(1)

จาก 1 สลับ x และ y ทำให้ได้ว่า $f(-a)=f(a)$

แทน $x=y$ ใน 1 จะได้ $f(x)^2=f(f(x))$

ดังนั้น จะได้ $f(f(x)-f(y))=(f(x)-f(y))^2$ สิ่งเหลือที่ต้องพิสูจน์ก็คือ f เป็น onto บน $\mathbf{R^{+}}$

ถ้าสรุปได้ก็จะได้ $f(x)=x^2$

3.

แทน $z=t=1$ จะได้

$f(x)+f(y)=x+y$ แล้วก็หา $f(1)=1$ จะได้จาก $x=y=z=t=1$

แทน $y=t=1$ จะได้ $(f(x)+1)(f(z)+1)=(x+1)(z+1)$ แทน $y$ เป็น $z$ จะได้
$f(x)f(y)+f(x)+f(y)+1=xy+x+y+1$ จะได้ $f(x)f(y)=xy=1$ ดังนั้น $f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{f(x)}$ จาก $f(x)+f(\dfrac{1}{x})=x+\dfrac{1}{x}$ จะได้ $f(x)=x$
จากนั้นเปลี่ยน $(x+y)(z+t)=(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t})$ แล้วทำเหมือนๆกัน $f(x)=\dfrac{1}{x}$

5.

http://www.mathcenter.net/forum/show...825#post158825

[TU Gifted Math#10]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

FE solution
3. แทน $y=z=t=1$ จะได้

$f(x)=\dfrac{x+1}{f(1)}-f(1)$ แล้วก็หา $f(1)=1$ จะได้ $f(x)=x$

จากนั้นเปลี่ยน $(x+y)(z+t)=(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t})$ แล้วทำเหมือนๆกัน $f(x)=\dfrac{1}{x}$

โจทย์มีเงื่อนไขว่า $xyzt=1$ ด้วยครับ ถ้าแทน $y=z=t=1$ ค่า $x$ จะถูกบังคับให้เป็น $1$ ทันที

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ขอบคุณครับแก้ไขแล้วนะครับ

ช่วยดูข้อสามให้หน่อยได้ไหมครับอ่ะครับ

[TU Gifted Math#10]

ยังอ่านไม่ค่อยเข้าใจเท่าไรครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

FE solution
3. แทน $z=t=1$ จะได้ $f(x)+f(y)=\dfrac{x+y}{f(1)}$

$x,y$ นี่ต้องสอดคล้องกับ $xy=1$ ด้วยครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

แล้วก็หา $f(1)=1$ จะได้จาก Cauchy Equation

ยังไม่ต้องอ้าง Cauchy Equation

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

จะได้ $f(x)=x$

ไม่ได้ เพราะ สมการข้างบนไม่ได้สอดคล้องกับทุก $x,y\in\mathbb{R}$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

แก้ไขแล้วครับ ช่วยดูข้อ 2 ด้วยครับว่าจะทำไงต่อ

[polsk133]

มีใครทำ algebra ข้อ 5. ได้ยังครับ ทำไงอะ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

#25 ขอบคุณมากครับ ลืมไปเลยว่า ข้อ 2 ทำแบบนี้ได้

ส่วนในใจผมว่าข้อ 4 ยากมาก มองไม่ออกเลย

ข้อ 3 ทำไมต้องแสดงว่าไม่มี a,b ที่แตกต่างที่ $f(a)=a,f(b)=\dfrac{1}{b}$ หรอครับ

[polsk133]

#26 มันอาจเกิดกรณีที่ f(3)=3 แต่ f(4)=1/4 ได้อะครับ

[Form]

ข้อ 3 ลืมแสดง TT

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Form

ข้อ 2 ลืมแสดง TT

แสดงอะไรหรอครับ onto หรอ

[Form]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tweener

Note อย่าลืมแสดงว่า ไม่มีจำนวนจริงบวก $a,b$ แตกต่างกันที่ $f(a)=a,f(b)=\frac{1}{b}$

ลืม TT
ข้อ 3 ครับพิมพ์ผิด - -