ขอถามโจทย์ TUMSO ปีก่อนๆครับ

[tongkub]

1.ในลำดับหนึ่งซึ่งมี 200 พจน์ ทุกๆพจน์(ยกเว้นพจน์แรกและพจน์สุดท้าย) จะมีค่าเืท่ากับผลบวกของพจน์ก่อนหน้าและพจน์ถัดไปในลำดับ โดยผลบวกของทุกพจน์มีค่าเท่ากับ ผลบวก 100 พจน์แรก กับพจน์ที่ 35 มีค่า -6 จงหาผลบวกทุกพจน์ในลำดับ

2. $2(2x^2 - 4x -3)^2 - 4(2x^2 - 4x -3) - 3 = x $ มีเซตคำตอบเป็นสมาิชิกในช่วงใด
ก.(-4,1) ข.(-1,4) ค.(-2,3) ง.(-3,2)

$3.cos(2arcsinx + 3arccosx +2arcsec\frac{1}{x}) = 0 และให้ 0<arcsinx<\frac{\pi}{2} ค่า x จากสมการเป็นช่วงเซตใด$
$ก.(0,\frac{1}{2}) ข. (\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{3}})ค.(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{2}})ง.(\frac{1}{\sqrt{2}},1)$

[กิตติ]

$3.cos(2arcsinx + 3arccosx +2arcsec\frac{1}{x}) = 0 และให้ 0<arcsinx<\frac{\pi}{2} ค่า x จากสมการเป็นช่วงเซตใด$
$ก.(0,\frac{1}{2}) ข. (\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{3}})ค.(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{2}})ง.(\frac{1}{\sqrt{2}},1)$

ข้อนี้ตอนแรกตะลุยกระจายผลบวกของมุม แล้วก็งงเองติดกันเป็นพรืด ไม่อยากทำแบบถึกๆ
กลับมานั่งดูโจทย์ใหม่ ลองแปลงค่ามุมก่อน
จาก$arcsinx+arccosx = \frac{\pi }{2} $
$2arcsinx+2arccosx = \pi $
และจาก $arcsec\frac{1}{x} = arccosx$

แปลงมุมก่อนได้ว่า$2arcsinx + 3arccosx +2arcsec\frac{1}{x} = \pi +3arccosx$
$cos(2arcsinx + 3arccosx +2arcsec\frac{1}{x}) = 0$
$cos(\pi +3arccosx) = 0$
$cos(\pi) cos(3arccosx) =0$
$cos(3arccosx) =0$
$4cos^3(arccosx)-3cos(arccosx)=0$
$4x^3-3x=0$
$x(4x^2-3)=0$
เนื่องจาก$x\not= 0$ จากการที่มี$arcsec\frac{1}{x}$
$x = \pm \frac{\sqrt{3} }{2} $ แต่จากที่โจทย์กำหนดให้ $0<arcsinx<\frac{\pi}{2} $
ดังนั้นค่าที่ใช้ได้จึงมีค่าเดียวคือ $x = \frac{\sqrt{3} }{2}$
ข้อนี้ตอบ ง.
ผมคิดคร่าวๆว่า $ \frac{\sqrt{3} }{2} = \frac{1.732}{2} \approx 0.86$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1.414}{2} \approx 0.707$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1.732}{3} \approx 0.577$

อีกสองข้อเดี๋ยวคิดก่อนครับ ทำงานก่อนครับ เดี๋ยวโดนเจ้านายดุ55555

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

1.ในลำดับหนึ่งซึ่งมี 200 พจน์ ทุกๆพจน์(ยกเว้นพจน์แรกและพจน์สุดท้าย) จะมีค่าเืท่ากับผลบวกของพจน์ก่อนหน้าและพจน์ถัดไปในลำดับ โดยผลบวกของทุกพจน์มีค่าเท่ากับ ผลบวก 100 พจน์แรก กับพจน์ที่ 35 มีค่า -6 จงหาผลบวกทุกพจน์ในลำดับ

$a_n = a_{n-1}+a_{n+1}$ เมื่อ $2\leqslant n \leqslant 199$
$a_{n+1} = a_n -a_{n-1}$
ลองเขียนออกมาให้เห็นทีละพจน์จะได้เห็นแนวโน้ม
$a_3 =a_2-a_1$
$a_4 =a_3-a_2$
$a_5 =a_4-a_3$
$a_6 =a_5-a_4$
ไปเรื่อยๆๆๆๆ
$a_{97} =a_{96}-a_{95}$
$a_{98} =a_{97}-a_{96}$
$a_{99} =a_{98}-a_{97}$
$a_{100} =a_{99}-a_{98}$
$S_{100}=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+...+a_{98}+a_{99}+a_{100}= a_1+a_2+(a_{99}-a_1)$
$= a_2+a_{99}$
$S_{200}=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+...+a_{198}+a_{199}+a_{200}=a_1+a_2+(a_{199}-a_1)$
$=a_2+a_{199}$
โจทย์กำหนดให้ $S_{100} = S_{200}$
ดังนั้น$a_{99} = a_{199}$
มาดู$a_4+a_3 =a_3-a_1 \rightarrow a_4+a_1 =0 $
ดังนั้น$a_{n+1} = a_n -a_{n-1}$
$a_n = a_{n-1} -a_{n-2}$
$a_n +a_{n+1}= a_n -a_{n-2}$
$a_{n+1}+a_{n-2}=0$
$a_{35} = -6$
$a_{34+1}+a_{34-2}=0 \rightarrow a_{32} = 6$
$a_{37-2}+a_{37+1}=0 \rightarrow a_{38} = 6$
จะเห็นว่าพจน์ทั้งสามเรียงกันแบบนี้$a_{32},a_{35},a_{38 } = 6\quad,-6\quad,6$
ไล่ลงไปเรื่อยๆทีละสามจะได้ว่าพจน์แรกคือ $a_2 = 6$ พจน์ท้ายสุดคือ $a_{200} = 6$
$a_2 ,a_5,a_8,a_{11},...,a_{197},a_{200} $
$6,-6,6,-6,...........,-6,6$
ผมไล่โดยดูจาก$200 = 2+3(66)$ โดยที่$d=3$
และสังเกตว่าพจน์ที่มีลำดับเป็น$a_{2+2d},a_{2+4d},a_{2+6d},..$ จะเป็นเลข $6$
พจน์ที่มีลำดับเป็น$a_{2+d},a_{2+3d},a_{2+5d},..$ จะเป็นเลข $-6$
เราดูแค่ 100 พจน์แรก .....เดี๋ยวมาคิดต่อ ไปรับลูกเรียนพิเศษก่อนครับ

[กิตติ]

สิ่งที่คิดได้เพิ่มคือ
1. ผลรวมของหกพจน์ที่เรียงกันเท่ากับศูนย์
$a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+a_{n+4}+a_{n+5}=0$
แปลงจากที่เราได้ว่า$a_{n+1}+a_{n-2}=0 \rightarrow a_n+a_{n+3}=0$
2.ผลรวมตั้งแต่พจน์ที่101ถึง200 เท่ากับศูนย์
ทำให้ได้ว่า $a_{101}+a_{102}+a_{103}+a_{104}=0$
และ$a_{101}+a_{104}=0$
ดังนั้น$a_{102}+a_{103}=0$
$S_{100} =a_{97}+a_{98}+a_{99}+a_{100}$
$a_{97}+a_{100}=0$
$S_{100} =a_{98}+a_{99}$
$ a_{98}+a_{99}+a_{100}+a_{101}+a_{102}+a_{103}=0$
$ a_{98}+a_{99}+a_{100}+a_{101}=0$
$ a_{98}+a_{101}=0$
$a_{99}+a_{100}=0 \rightarrow a_{99}=-a_{100}$
$a_{99}=a_{98}+a_{100}$ และ $a_{98}=6$
$a_{98}+2a_{100}=0 \rightarrow a_{100} = -3$
$a_{99}= 3$
$S_{100} =a_{98}+a_{99} = 6+3 = 9$
ผลรวมของทุกพจน์ในลำดับ 200 พจน์ เท่ากับผลรวมของ100พจน์แรก เท่ากับ $9$

ติดไว้ข้อหนึ่งครับ ถึงเวลานอนของตัวเล็กแล้วครับพรุ่งนี้คิดแล้วจะแปะให้ครับ
ถ้าใครมีแนวคิดที่แตกต่างก็แจมได้ครับ เพื่อเปิดหูเปิดตากันครับ โจทย์ข้อเดียวไม่จำเป็นต้องมีวิธีทำวิธีเดียว

[poper]

ข้อ 2)
ให้ $A=2x^2-4x-3$ $\ \ \ \therefore \ \ \ 2x^2-4x-3-A=0$----(1)
$2A^2-4A-3=x$ $\ \ \ \therefore \ \ \ 2A^2-4A-3-x=0$----(2)
$$2x^2-4x-3-A=2A^2-4A-3-x$$
$$2x^2-2A^2-3x+3A=0$$
$$(x-A)[2(x+A)-3]=0$$
$$(x-A)(2x+2A-3)=0$$
ดังนั้น $x=A$ หรือ $2x+2A-3=0$
1)$\ \ \ x=A$
$$2x^2-4x-3=x$$
$$2x^2-5x-3=0$$
$$(2x+1)(x-3)=0$$
$$x=-\frac{1}{2},3$$
2)$\ \ \ 2A+2x-3=0$
$$4x^2-6x-9=0$$
$$x=\frac{3\pm3\sqrt{5}}{4}$$

[tongkub]

ขอบคุณทุกท่านมากครับ ได้รับข้อคิดเยอะเยะเลย

[กิตติ]

วิธีของคุณpoperสวยมากครับ....
วิธีนี้น่าสะสั้นที่สุดแล้วครับ