Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์มัธยมศึกษา > ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น > ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 02 กันยายน 2007, 17:27
หยินหยาง's Avatar
หยินหยาง หยินหยาง ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่จักรวาล
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,919
หยินหยาง is on a distinguished road
Default ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ รอบชิงชนะเลิศ ช่วงชั้นที่ 3 แข่งขันวันที่ 2 ก.ย.50

ก่อนอื่นต้องขอบอกว่าโจทย์ที่จะพิมพ์ต่อไปนี้อาจมีข้อผิดพลาดอยู่บ้าง เพราะใช้ฟังจากคณะกรรมการที่อ่านแล้วต้องรีบจด แต่อย่างไรก็ตามก็พยายามจดมาให้ได้ครบเนื้อหาสาระให้มากที่สุด แต่ถ้ามีข้อผิดพลาดก็ขออภัยไว้ก่อน และถ้าใครก็ตามเห็นข้อผิดพลาดจะช่วยแก้ไขให้สมบูรณ์เพื่อเป็นวิทยาทานก็ขอขอบคุณไว้ล่วงหน้าครับ
รอบแรก 5 ข้อ ให้เวลา 10 นาที

1.ให้ $ x, y, z$เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้ $z^x =y^{2x}$, $ 2^z =2*4^x$
$x+y+z = 16$ จงหาว่า $x^2+y^2+z^2 =?$ (คำตอบ 106)

2.มีสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 20 ซม. มีรัศมีของวงกลมที่แนบในสามเหลี่ยมยาว 2 ซม. จงหาความยาวของเส้นรอบรูปวงกลมเท่ากับเท่าใด
(คำตอบ 44 ซม. ผมทำได้ไม่ตรงกับคำตอบ ไม่รู้ว่าผมฟังคำถามมาผิดหรือเปล่าหรือฝีมือไม่ถึง)

3. เราสามารถสร้างรูปแปดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าโดยการตัดมุมสี่เหลี่ยมจตุรัสยาวด้านละ 4 ซม. ตรงมุม 4 มุม จงหาพื้นที่แปดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าดังกล่าว
(คำตอบ $32(\sqrt{2}-1)$ ผมทำได้ไม่ตรงกับคำตอบเหมือนเดิม)

4. (ข้อนี้ไม่ค่อยแน่ใจ) จงหา ห.ร.ม. ของ $878787878787$ กับ $787878787878$ เท่ากับเท่าไร
(คำตอบ 30303030303)

5. ให้ $ x, y, z $ เป็นจำนวนจริงบวกโดยที่ $x$% ของ $y = z $, $y$% ของ $z = x,$
$z$% ของ $x =1 $ จงหา $x^2+y^2+z^2 =?$
(คำตอบ 10,200)

ส่วนรอบที่ 2 อีก 5 ข้อ เดี๋ยวว่างจะมาพิมพ์ให้ครับ ขอไปทำธุระก่อน

03 กันยายน 2007 20:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ หยินหยาง
เหตุผล: เพิ่มคำตอบไว้ท่ายข้อครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 02 กันยายน 2007, 18:11
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Default

ห้า่ข้อสิบนาที โห...
ลงคำตอบก่อนนะครับ เดี๋ยวแนวคิดจะตามมา

1. 106
แนวคิด: เทียบเลขชี้กำลังและฐานจะได้ $z=y^2=2x+1$ ดังนั้น $y^2+y+(y^2-1)/2=16$ ทำให้ $y=3,\ x=4,\ z=9$ และ $x^2+y^2+z^2=106$

2. ข้อสองผมคิดว่าเขาถามความยาวเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมมากกว่านะครับ ส่วนคำตอบ(ในกรณีนี้)คือ 46 cm
แนวคิด: ให้ด้านประกอบมุมฉากเป็น $a,b$ จะได้ $a^2+b^2=400$ และ $ab=2\times(a+b+20)$ ดังนั้น $(a-2)(b-2)=44$
ให้ $u=a-2,\ v=b-2$ ดังนั้น $uv=44$ และ $(u+2)^2+(v+2)^2=(u+v)^2+4(u+v)+8-2uv=(u+v+2)^2+8-88=400$
นั่นคือ $u+v=a+b-4=22$ ความยาวเส้นรอบรูปจึงเป็น 20+26=46 cm

3. $32(\sqrt2-1)$ cm2
แนวคิด: ให้แปดเหลี่ยมนี้ยาวด้านละ $x$ cm สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ตัดออกไปสี่มุม มีด้านประกอบมุมฉากยาว $y$ cm
ดังนั้น $2y+x=4$ และ $x^2=2y^2$ ซึุ่งทำให้ $2y+\sqrt2y=4$ ดังนั้น $y=2(2-\sqrt2)$ cm
พื้นที่แปดเหลี่ยมจึงเป็น $16-\frac42\cdot4(2-\sqrt2)^2=16-8(6-4\sqrt2)=32(\sqrt2-1)$ cm2

4. $30303030303$
แนวคิด: ดึง 78 กับ 87 ออกมาก่อน จะได้ตัวร่้วมเป็น 10101010101 แต่ (78,87)=3 ดังนั้น ห.ร.ม. จึงเป็น $3\times10101010101=30303030303$

5. 10200
แนวคิด: เพราะ $xy=100z,\ yz=100x,\ zx=100$ ดังนั้น $x(yz)=100y=100x^2$ นั่นคือ $y=x^2$ ทำให้ $xy=x^3=100x$ ดังนั้น $x=10=z,\ y=100$ นั่นคือ $x^2+y^2+z^2=10200$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

04 กันยายน 2007 00:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
เหตุผล: เพิ่้มแนวคิด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 02 กันยายน 2007, 23:35
หยินหยาง's Avatar
หยินหยาง หยินหยาง ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่จักรวาล
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,919
หยินหยาง is on a distinguished road
Default

ขอต่อรอบที่ 2 ให้เวลา 10 นาที
1.ให้ $n_1$, $n_2$, $n_3$, $n_4$,แทนจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้
$n_2$ มากกว่า $n_1$ อยู่ 25% , $n_3$ มากกว่า $n_2$ อยู่ 20%, $n_4$ น้อยกว่า $n_3$ อยู่ x%
จงหาค่า x ที่ทำให้ $n_1$ = $n_4$ (คำตอบ $-33\frac{1}{3} $ ผมง่าโจทย์ข้อนี้ผมน่าจะฟังผิด ตรง
$n_4$ น้อยกว่า $n_3$ อยู่ x% น่าจะเป็น $n_4$ มากกว่า $n_3$ อยู่ x%)

2. จงหาจำนวนจริง $ x,y $ ที่สอดคล้องกับ $xy = \frac{x}{y} = x-y$
(คำตอบ $x = \frac{-1}{2}, y = -1$)

3. เราสามารถสร้างเลขจำนวนเต็มบวกสามหลักจากเลขโดด $1, 2, 3, 4, 5$ ได้ทั้งหมด 125 จำนวน จงหาผลบวกของ 125 จำนวนนี้
(คำตอบ 41,625)

4. จำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1,000 - 9,999 มีกี่จำนวนที่ทำให้เลขโดดของผลต่างในหลักหน่วยกับหลักพันเท่ากับ 2
(คำตอบ 1,500)

5. จงหาคู่ลำดับ (x,y)ทั้งหมด โดยที่ xและ y เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
$\frac{1}{\sqrt{x} } +\frac{1}{\sqrt{y} } = \frac{1}{\sqrt{20} }$
(คำตอบ $(45,180), (80,80),(180,45)$)


ผลปรากฏว่าเมื่อจบการแข่งขัน มีคนได้คะแนนเท่ากัน 3 คน คือ 8คะแนนเท่ากัน จึงต้องมีการแข่งรอบที่ 3 อีก 3 ข้อ เพื่อหาที่ 1,2 และ 3
แต่ต้องขออภัยที่ฟังไม่ทัน ฟังทันอยู่เพียงข้อเดียวคือข้อ 2 ต่อแต่นี้ไปให้เวลาข้อละ 2 นาทีเท่านั้น

รอบที่ 3 ข้อ2...
ในปี พ.ศ. 2547 ในเดือน ก.พ. มีวันอาทิตย์ 5 วัน ถามว่าในปี พ.ศ.ใดถัดไปที่ทำให้เดือน ก.พ. มีวันอาทิตย์ 5 วันอีกครั้ง
(คำตอบ พ.ศ. 2575)


ผลปรากฏว่า ด.ช. นิปุณ ปิติมานะอารี จาก สาธิต มศว.ปทุมวันได้ 2 ข้อ ได้ที่ 1 ไป ส่วนโรงเรียนสวนกุหลาบและโรงเรียนเซนต์คาเบียลได้ คนละ 1 ข้อ
จึงทำให้มีการแข่งต่อเป็นรอบที่ 4เพื่อชิงเหรียญเงินโดยตอบที่ละข้อ มีการแข่งขันอีก 2 ข้อ ข้อแรกได้คะแนนคนละ 1 คะแนน โจทย์มีอยู่ว่า

รอบที่ 4 ข้อ1. ลูกบาศก์ลูกหนึ่งสร้างจากลูกบาศก์ลูกเล็กๆ 125 ลูก จงหาจำนวนลูกบาศก์ทั้งหมดที่สัมผัสผิวกับลูกบาศก์เล็กๆ อีก 4 ลูก
(คำตอบ 36 ลูก)


ส่วนข้อ 2 เช่นเดิมฟังไม่ทัน แต่ผลแพ้ชนะเกิดขึ้นในข้อนี้ โดยโรงเรียนเซนต์คาเบียล ตอบถูก ส่วนโรงเรียนสวนกุหลาบตอบผิดพลาดไป ทั้งๆที่รอบก่อนชิงชนะเลิศในตอนเช้าทำคะแนนได้เป็นอันดับหนึ่ง

นึกออกแล้วครับ รอบที่ 4 สำหรัยข้อ 2 ้แก้ไขเพิ่มเติ่ม
2. จงหาจำนวนของรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมที่มีจุดยอดของมุมทั้งสามเป็นมุมของสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ว่าเป็นไปได้ทั้งหมดกี่รูป
(คำตอบ 8 รูป)

ถ้ามีท่านใดที่ไปร่วมด้วยล้วเห็นว่าผมฟังมาผิดท้วงได้นะครับ

03 กันยายน 2007 20:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ หยินหยาง
เหตุผล: เพิ่มคำตอบไว้ท้ายข้อครับ และเพิ่มโจทย์รอบที่ 4 ข้อ 2
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 03 กันยายน 2007, 02:04
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Default

มาแล้วครับ หากเจอที่ผิดบอกได้นะครับ

รอบที่สอง

1. เพราะ $n_2-n_1=\frac14n_1,\ n_3-n_2=\frac15n_2,\ n_3-n_4=\frac{x}{100}n_1$ ให้ $n_1=n_4$ จะได้ว่า $n_4=\frac45\cdot\frac56\cdot\frac{100+x}{100}n_4$ นั่นคือ $x=50$
แต่หากคำตอบคือ -100/3 ก็ต้องแก้โจทย์อย่างที่คุณหยินหยางว่ามาล่ะครับ

2. เห็นได้ชัดว่า $x,y\ne 0$ ดังนั้น $y^2=1$ แต่ $y=1$ ทำให้ $x=x-1$ ดังนั้น $(x,y)=(-\frac12,-1)$

3. เลขแต่ละตัวปรากฎในแต่ละหลัก 25 ครั้ง ผลรวมจึงเท่ากับ $(1+2+3+4+5)\times25\times(10^2+10+1)=41625$

4. จำนวนสมาชิกของเซต $\{ 1xx3,2xx5,\dots,7xx9 \} \cup \{ 2xx0,3xx1,\dots,9xx7 \},
\ x\in\{ 0,1,\dots,9\} $ คือ $(7+8)\times10^2=1500$

5. (ผมยังไม่ได้ทดข้อนี้ เพราะจุกจิกเอาการสำหรับเวลาสิบนาที ผมขอลงแค่แนวคิดก่อนละกัน แต่ใครอยากแสดงวิํธีทำก็เชิญได้เลยครับ)
จัดรูปใหม่จะได้ $(\sqrt{x}-2\sqrt5)(\sqrt{y}-2\sqrt5)=20$ จากนั้นแจงกรณีตาม'ตัวประกอบ'ของ 20 ดังต่อไปนี้

$\begin{array}{rrrrrr}
-----&-----&-----&-----&-----&-----\\
\sqrt{x}-2\sqrt5 & \sqrt{y}-2\sqrt5 & \sqrt{x} & \sqrt{y} & x & y\\
-----&-----&-----&-----&-----&-----\\
4\sqrt5 & \sqrt5 & 6\sqrt5 & 3\sqrt5 & 180 & 45\\
2\sqrt5 & 2\sqrt5 & 4\sqrt5 & 4\sqrt5 & 80 & 80\\
-4\sqrt5 & -\sqrt5 & -2\sqrt5 & \sqrt5 & 20 & 5\\
\sqrt5 & 4\sqrt5 & 3\sqrt5 & 6\sqrt5 & 45 & 180\\
-\sqrt5 & -4\sqrt5 & \sqrt5 & -2\sqrt5 & 5 & 20\\
\pm1 & \pm20 & 2\sqrt5\pm1 & 2\sqrt5\pm20 & 21\pm4\sqrt5 & 420\pm80\sqrt5\\
\pm2 & \pm10 & 2\sqrt5\pm2 & 2\sqrt5\pm10 & 24\pm8\sqrt5 & 120\pm40\sqrt5\\
\pm4 & \pm5 & 2\sqrt5\pm4 & 2\sqrt5\pm5 & 36\pm16\sqrt5 & 45\pm20\sqrt5\\
\pm5 & \pm4 & 2\sqrt5\pm5 & 2\sqrt5\pm4 & 45\pm20\sqrt5 & 36\pm16\sqrt5\\
\pm10 & \pm2 & 2\sqrt5\pm10 & 2\sqrt5\pm2 & 120\pm40\sqrt5 & 24\pm8\sqrt5\\
\pm20 & \pm1 & 2\sqrt5\pm20 & 2\sqrt5\pm1 & 420\pm80\sqrt5 & 21\pm4\sqrt5\\
-----&-----&-----&-----&-----&-----\\
\end{array}$


รอบที่สาม

2. ปีพ.ศ. 2547 เป็นปีอธิกสุรทิน (เดือนกุมภาพันธ์มี 29 วัน) ซึ่งเป็นปีแบบเดียวที่เดือนกุมภาพันธ์สามารถมีวันอาทิตย์ได้ห้าวัน
เพราะสี่ปีมี 1461=208 x 7 +5 วัน ดังนั้นนับไปอีก 4 x 7 = 28 ปีจึงจะเกิดเหตุการณ์นี้อีกครั้ง

รอบที่สี่

1. ลูกบาศก์ย่อยทั้งหมดที่สัมผัสผิวกับลูกบาศก์ย่อย อีก 4 ลูก เป็นลูกบาศก์ย่อยที่อยู่ตรงสันของลูกบาศก์ใหญ่
ดังนั้นมีลูกบาศก์ที่ต้องการหาอยู่ 12 x 3 = 36 ลูก

2. จากรูปด้านล่าง เมื่อเลือกจุดยอดจุดแรก จุดที่เหลือต้องเป็นสีเดียวกัน (การเลือกจุดต่างสีทำให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉาก)
ชุดจุดแต่ละสีเป็นจุดยอดของทรงสี่หน้า (tetrahedron) ดังนั้นจะเกิดสามเหลี่ยมที่ต้องการแปดรูป
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

04 กันยายน 2007 01:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 03 กันยายน 2007, 20:27
หยินหยาง's Avatar
หยินหยาง หยินหยาง ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่จักรวาล
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,919
หยินหยาง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum View Post
มาแล้วครับ หากเจอที่ผิดบอกได้นะครับ

รอบที่สอง

5. (ผมยังไม่ได้ทดข้อนี้ เพราะจุกจิกเอาการสำหรับเวลาสิบนาที ผมขอลงแค่แนวคิดก่อนละกัน แต่ใครอยากแสดงวิํธีทำก็เชิญได้เลยครับ)
จัดรูปใหม่จะได้ $(\sqrt{x}-2\sqrt5)(\sqrt{y}-2\sqrt5)=20$ จากนั้นแจงกรณีตาม'ตัวประกอบ'ของ 20 ดังต่อไปนี้

$\begin{array}{rrrrrr}
-----&-----&-----&-----&-----&-----\\
\sqrt{x}-2\sqrt5 & \sqrt{y}-2\sqrt5 & \sqrt{x} & \sqrt{y} & x & y\\
-----&-----&-----&-----&-----&-----\\
4\sqrt5 & \sqrt5 & 6\sqrt5 & 3\sqrt5 & 180 & 45\\
2\sqrt5 & 2\sqrt5 & 4\sqrt5 & 4\sqrt5 & 80 & 80\\
-4\sqrt5 & -\sqrt5 & -2\sqrt5 & \sqrt5 & 20 & 5\\
\sqrt5 & 4\sqrt5 & 3\sqrt5 & 6\sqrt5 & 45 & 180\\
-\sqrt5 & -4\sqrt5 & \sqrt5 & -2\sqrt5 & 5 & 20\\
\pm1 & \pm20 & 2\sqrt5\pm1 & 2\sqrt5\pm20 & 21\pm4\sqrt5 & 420\pm80\sqrt5\\
\pm2 & \pm10 & 2\sqrt5\pm2 & 2\sqrt5\pm10 & 24\pm8\sqrt5 & 120\pm40\sqrt5\\
\pm4 & \pm5 & 2\sqrt5\pm4 & 2\sqrt5\pm5 & 36\pm16\sqrt5 & 45\pm20\sqrt5\\
\pm5 & \pm4 & 2\sqrt5\pm5 & 2\sqrt5\pm4 & 45\pm20\sqrt5 & 36\pm16\sqrt5\\
\pm10 & \pm2 & 2\sqrt5\pm10 & 2\sqrt5\pm2 & 120\pm40\sqrt5 & 24\pm8\sqrt5\\
\pm20 & \pm1 & 2\sqrt5\pm20 & 2\sqrt5\pm1 & 420\pm80\sqrt5 & 21\pm4\sqrt5\\
-----&-----&-----&-----&-----&-----\\
\end{array}$


รอบที่สี่

1. ลูกบาศก์ย่อยทั้งหมดที่สัมผัสผิวกับลูกบาศก์ย่อย อีก 4 ลูก หากไม่เป็นลูกบาศก์ที่มุมของลูกบาศก์ใหญ่ ก็เป็นลูกบาศก์ย่อยที่อยู่ตรงสันของลูกบาศก์ใหญ่
ดังนั้นมีลูกบาศก์ที่ต้องการหาอยู่ 8+12 x 3 = 44 ลูก
คุณ nongtum ช่วยดูรอบที่ 2 ข้อ 5 อีกทีครับ ทางกรรมการเฉลย $(45,180), (80,80), (180,45)$

สำหรับรอบที่ 4 ข้อ1 ตอบ 36 ลูกครับ ตรงมุม 8 ลูกสัมผัสเพียงแค่ 3 ด้านครับ
ส่วนคำตอบข้ออื่นผมจะไปเฉลยไว้ท้ายคำถามให้ ขอบคุณสำหรับแนวคิดครับ บางข้อเห็นแล้ว กระชับและสั้นดี
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 03 กันยายน 2007, 21:19
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Default

ตอนนี้ผมไม่ว่างพอจะเช็คละเอียดทุกข้อ แต่พอบอกอะไรได้ดังนี้

- ถ้าเฉลยรอบที่สอง ข้อห้า และโจทย์เป็นอย่างที่แก้จริง โจทย์ก็ควรจะระบุว่าจำนวนเต็มบวกนะครับ
- ผมเห็นแล้วว่าผมทำข้อ 2+3 ตอนแรกผิดที่ไหน ส่วนรอบที่ 4 ข้อ 1 เดี๋ยวจะแก้คำตอบด้านบนละกัน
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

03 กันยายน 2007 21:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 04 กันยายน 2007, 06:57
SOMSAK SOMSAK ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 กุมภาพันธ์ 2007
ข้อความ: 4
SOMSAK is on a distinguished road
Default

คล้ายกับมีอยู่ข้อหนึ่ง คำถามดังนี้ครับ

วงกลม 3 วง รัศมี 1 2 และ 3 ตามลำดับ แตะกัน ทำให้เกิดช่องว่างรูป สามเหลี่ยมตรงกลาง และสามารถเขียนวงกลมวงเล็กในช่องว่างนั้น ถ้าสามเหลี่ยมวงน้อยนี้มีรัศมี p หาร q แล้ว ถามว่า p + q มีค่าเท่ากับเท่าไร
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 04 กันยายน 2007, 08:00
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SOMSAK View Post
วงกลม 3 วง รัศมี 1 2 และ 3 ตามลำดับ แตะกัน ทำให้เกิดช่องว่างรูป สามเหลี่ยมตรงกลาง และสามารถเขียนวงกลมวงเล็กในช่องว่างนั้น ถ้าสามเหลี่ยมวงน้อยนี้มีรัศมี p หาร q แล้ว ถามว่า p + q มีค่าเท่ากับเท่าไร
ข้อนี้ (p,q)=1 ใช่ไหมครับ
เวลากี่นาทีครับเนี่ย สองนาทีผมคงแก้สมการไม่ทัน ใครรู้วิธีที่สั้นหรือรู้เทคนิคสั้นๆเด็ดๆกว่านี้บอกผมหน่อยนะ

แนวคิด: ลากเส้นจากจุดยอดทั้งสามไปยังจุดศูนย์กลางวงกลมเล็กตรงกลาง เพราะสามเหลี่ยมที่เกิดมีความยาวด้านเป็น 3,4,5 (สามเหลี่ยมมุมฉาก)
สมมติรัศมีวงกลมเล็กนี้เป็น $r$ เราจะได้ว่า $$\sqrt{(5+r)r\cdot3\cdot2} + \sqrt{(4+r)r\cdot3\cdot1} + \sqrt{(3+r)r\cdot2\cdot1} = 6$$แก้สมการจะได้ $r=6/23$ ดังนั้น p+q=29

ปล. ผมแก้และอัพเดทคำตอบตอนแรกข้อ 2-3 แล้ว กับเพิ่มคำตอบตอนที่สี่ ข้อที่สอง เผื่อว่า่ใครยังไม่ทราบ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

04 กันยายน 2007 08:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 05 กันยายน 2007, 07:03
SOMSAK SOMSAK ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 กุมภาพันธ์ 2007
ข้อความ: 4
SOMSAK is on a distinguished road
Default

ผมได้ยินมานะครับ ยังไม่ได้ทำเลย แต่มีความคิดดังนี้

ลากเส้นจาก 3 มุมไปที่จุดศูนย์กลางวงกลมเหมือนกัน

พื้นที่สามเหลี่ยม เท่ากับ พื้นที่สามเหลี่ยมสามรูเล็กจากการทำข้างต้น ได้รัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยมจาก 1/2 คูณ รัศมีสามเหลี่ยม คูณด้าน ของสามเหลี่ยมทั้งสามรูป

จากนั้น ค่อยหารัศมีวงกลมจิ๋วนั้น โอยคิดจากมุมใดมุมหนี่ง

เส้นที่ลากจากมุมไปที่ศูนย์กลาง เท่ากับรัศมีวงกลมที่ที่มุม + รัศมีวงวิ๋ว
ด้านที่ตั้งฉากัน จะมี รัศมีวงกลมที่มุม และรัศมีวงกลมที่หามาได้

ใช้ทฤษฎี ปีทากอรัส

จะได้รัศมีวงจิ๋วครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 07 กันยายน 2007, 09:01
bell18's Avatar
bell18 bell18 ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 มีนาคม 2003
ข้อความ: 295
bell18 is on a distinguished road
Default

ทั้งหมดนี้คงจะเป็นระดับม.ต้นครับ ส่วนระดับม.ปลายเป็นอย่างไร อยากรู้จัง ใครเข้าไปร่วมฟังมาแล้วช่วยเล่าให้ชาว Mathcenter ฟังบ้างนะครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 12 มกราคม 2008, 20:14
นายสบาย's Avatar
นายสบาย นายสบาย ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 19 มีนาคม 2007
ข้อความ: 81
นายสบาย is on a distinguished road
Default

ยากจัง มีเป็น PDF รวมข้อสอบหรือเปล่าครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 28 กรกฎาคม 2008, 17:35
jabza's Avatar
jabza jabza ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 สิงหาคม 2005
ข้อความ: 544
jabza is on a distinguished road
Default

$\sqrt{(5+r)r\cdot3\cdot2} + \sqrt{(4+r)r\cdot3\cdot1} + \sqrt{(3+r)r\cdot2\cdot1} = 6$$แก้สมการจะได้ $r=6/23 ใครรู้วิธีแก้สมการข้อนี้ผมทำไม่ได้
__________________
จะขอทำฝัน....ให้ใกล้เคียงความจริงที่สุด

เด็กน้อย ค่อยๆ เรียนรู้ สินะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 28 กรกฎาคม 2008, 17:42
jabza's Avatar
jabza jabza ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 สิงหาคม 2005
ข้อความ: 544
jabza is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum View Post
ข้อนี้ (p,q)=1 ใช่ไหมครับ
เวลากี่นาทีครับเนี่ย สองนาทีผมคงแก้สมการไม่ทัน ใครรู้วิธีที่สั้นหรือรู้เทคนิคสั้นๆเด็ดๆกว่านี้บอกผมหน่อยนะ

แนวคิด: ลากเส้นจากจุดยอดทั้งสามไปยังจุดศูนย์กลางวงกลมเล็กตรงกลาง เพราะสามเหลี่ยมที่เกิดมีความยาวด้านเป็น 3,4,5 (สามเหลี่ยมมุมฉาก)
สมมติรัศมีวงกลมเล็กนี้เป็น $r$ เราจะได้ว่า $$\sqrt{(5+r)r\cdot3\cdot2} + \sqrt{(4+r)r\cdot3\cdot1} + \sqrt{(3+r)r\cdot2\cdot1} = 6$$แก้สมการจะได้ $r=6/23$ ดังนั้น p+q=29

ปล. ผมแก้และอัพเดทคำตอบตอนแรกข้อ 2-3 แล้ว กับเพิ่มคำตอบตอนที่สี่ ข้อที่สอง เผื่อว่า่ใครยังไม่ทราบ
ใครรู้วิธีแก้สมการได้r=6/23
__________________
จะขอทำฝัน....ให้ใกล้เคียงความจริงที่สุด

เด็กน้อย ค่อยๆ เรียนรู้ สินะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 28 กรกฎาคม 2008, 21:36
หยินหยาง's Avatar
หยินหยาง หยินหยาง ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่จักรวาล
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,919
หยินหยาง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza View Post
ใครรู้วิธีแก้สมการได้r=6/23
โจทย์ข้อนี้คุณ jabza เพิ่งทำไปเองไม่ใช่หรือครับเป็นข้อสอบรอบแรกข้อที่ 35 ของเพชรยอดมงกุฏ ดูตามนี้ครับ

http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=3498&page=4
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 13 เมษายน 2012, 20:33
gnap's Avatar
gnap gnap ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 ธันวาคม 2011
ข้อความ: 563
gnap is on a distinguished road
Default

2. ข้อสองผมคิดว่าเขาถามความยาวเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมมากกว่านะครับ ส่วนคำตอบ(ในกรณีนี้)คือ 46 cm
แนวคิด: ให้ด้านประกอบมุมฉากเป็น $a,b$ จะได้ $a^2+b^2=400$ และ $ab=2\times(a+b+20)$ ดังนั้น $(a-2)(b-2)=44$
ให้ $u=a-2,\ v=b-2$ ดังนั้น $uv=44$ และ $(u+2)^2+(v+2)^2=(u+v)^2+4(u+v)+8-2uv=(u+v+2)^2+8-88=400$
นั่นคือ $u+v=a+b-4=22$ ความยาวเส้นรอบรูปจึงเป็น 20+26=46 cm

ข้อนี้ผมได้ 44 ครับ
__________________
ขอปลอบใจตัวเองหน่อยนะครับ:

เอาน่า..นี่แค่สนามเดียว,ถือว่าฟาดเคราะห์ละกัน
สนามหน้าต้องดีแน่[เคราะห์โดนฟาดไปเกลี้ยงแล้วนี่นา]
สู้ๆ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 19:51


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha