รบกวนด้วยนะครับ metric space กับ จุดกับมิต

[Tohn]

ให้ $(X ,d)$ เป็น metric space และ $x\in X $จงพิสูจน์ว่า$ x$ เป็นจุดลิมิตของ $S$ โดย $S\subseteq X$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก$ r > 0$ , $ B_d(x,r)\cap S$ เป็นเซตอนันต์

อยากให้ทำให้ดูเลยครับ ขอบคุณครับผม

[nooonuii]

ขากลับเป็นจริงอยู่แล้วเพราะเราต้องการอีกแค่ตัวเ้ดียวที่ไม่ใช่ $x$ ที่อยู่ใน $B_d(x,r)\cap S$ ก็จะได้ทันว่า $x$ เป็น limit point

ขาไปสมมติ $r>0$

เนื่องจาก $x$ เป็น limit point จะมี $y_0\neq x$ ซึ่ง $y_0\in B_d(x,r)\cap S$

ให้ $r_1=d(x,y_0)>0$

จะได้ว่ามี $y_1\neq x$ ซึ่ง $y_1\in B_d(x,r_1)\cap S$

ทำซ้ำขั้นตอนเดิมไปเรื่อยๆ

ลองวาดรูปดูครับ

[Lekkoksung]

พี่หนุ่ยใบ้ต่อหน่อยได้มั้ยครับ ผมว่าคุณ Tohn ก็ยังงงๆอยู่เหมือนกัน

[nooonuii]

ลองทำต่อโดยให้ $r_2=d(y_2,x)$ ครับ