Multiplicative function

[LightLucifer]

If $f(n)$ is multiplicative, $f \not\equiv 0$, then show that $$\sum_{d|n}\mu(d)f(d)=\prod_{i = 1}^{r}(1-f(p_i))$$
When $n=\prod_{i = 1}^{r}p_i^{a_i}$

[nooonuii]

ต้อง $f(1)=1$ ด้วยหรือเปล่า

ลองนิยาม $F(n)=\sum_{d|n}\mu{(d)}f(d)$

$F$ เป็น multiplicative ฟังก์ชัน

แล้วก็คำนวณตรงๆเลยครับ

[LightLucifer]

ครับผมก็สงสัยอยู่ เพราะผมได้เป็น $f(1)-f(p_i)$
ขอบคุณมากครับ

[LightLucifer]

ข้อนี้อีกข้อครับ
ให้ $n>1$ และ $f(n)$ แทนผลบวกของจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $k<n$ และ $(k,n)=1$
จงพิสูจน์ว่า $$f(n)=\frac{n}{2}\phi(n)$$

[Tohn]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อนี้อีกข้อครับ
ให้ $n>1$ และ $f(n)$ แทนผลบวกของจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $k<n$ และ $(k,n)=1$
จงพิสูจน์ว่า $$f(n)=\frac{n}{2}\phi(n)$$

ไม่รู้ทำแบบนี้ได้มั้ยนะครับผม
สำหรับ $n>2$
ให้ $S$ = { $k|k<n และ (k,n)=1$ } เห็นชัดว่า $|S| \not= 0$ จะได้ว่า $|S|= \phi(n)$
ให้ $d_{1} ,d_{2}, \cdots , d_{\frac{\phi(n)}{2}} \in S$ เนื่องจาก $(d,n)=1=(n-d,n)$
จะได้ว่า $n-d_{1} , n-d_{2}, \cdots , n-d_{\frac{\phi(n)}{2}} \in S $เช่นกัน
ดังนั้น

$2f(n)= 2(d_{1}+d_{2}+ \cdots + d_{\frac{\phi(n)}{2}}+(n-d_{\frac{\phi(n)}{2}})+ \cdots +(n-d_{1}))$
$=(d_{1}+n-d_{1})+(d_{2}+n-d_{2})+\cdots+(n-d_{1}+d_{1}) = n\phi(n)$
หรือ $f(n)=\frac{n}{2}\phi(n)$

[LightLucifer]

สุดยอดครับ วิธีสวยมาก
ขอบคุณครับ