Linear transformation คับ

[Tohn]

1.) Let $f,g \in L(V,F).$ Prove that for all $v \in V , f(v)=0 -> g(v)=0$ ,then $g=af$ for some $a \in F.$

2.) Let $V$ and $W$ be vector space over field $F$ and $W \neq \{0\}.$ If $v \in V$ is such that $T(v)=0$ for all $T \in L(V,W),$ prove that$ v=0.$

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Tohn

2.) Let $V$ and $W$ be vector space over field $F$ and $W \neq \{0\}.$ If $v \in V$ is such that $T(v)=0$ for all $T \in L(V,W),$ prove that $ v=0.$

มั่วอะครับ ลองเช็คให้ด้วย

Let $v \in V$ be such that $v \neq 0$. Thus $\{ v \}$ is linearly independent.
Then there exist $B \subseteq V$ such that $\{ v \} \subseteq B$ and $B$ is a basis of $V$.
Let $B=\{ u_{i} : i\in I \}$ and $B'=\{ w_{i} : i \in I \} - \{0 \} \subseteq W$.
Then there exist linear transformation $T:V\rightarrow W$ defined by
$$T(u_{i})=w_{i}$$
for all $u_{i} \in B$.
Since $W \neq \{0\}$ for all $i \in I$, $T(u_{i}) \neq 0$.

[nooonuii]

เขียนข้อ $1$ ใหม่ได้มั้ยครับ

[Lekkoksung]

1.) Let $f,g \in L(V,F)$ and for all $v \in V$, if $f(v)=0$, then $g(v)=0$. Prove that $g=af$ for some $a \in F$.

แล้วข้อสองถูกผิดอย่างไรบ้างครับ

[Tohn]

$W^o = \{f \in L(V,F) : f(v)=0$ $\forall v \in W \}.$

3.Let $V$ be a finite dimensional over a field $F$ and $W_1 ,W_2$ are subspaces of $V$. Prove that if ${W_1}^o = {W_2}^0$ ,then $W_1=W_2$.

4. Let $V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}.$ For each $i \in \{1, \ldots ,n\}$ ,let $W_{i} = V_1+ \cdots +V_{i-1}+V_{i+1}+ \cdots +V_n$
Prove that $L(V,F)={W_1}^o \oplus \cdots \oplus {W_n}^o.$

[nooonuii]

#3 $w_i$ มีสมบัติเพิ่มเติมอะไรมั้ยครับ ไม่ได้บอกรายละเอียดไว้

[Tohn]

มีเท่านี้อ่าครับผม