จำนวนตรรกยะเขียนในรูปจำนวนอตรรกยะคูณกัน

[pure_mathja]

จงพิสูจน์ว่าจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนอตรรกยะได้เสมอ

[Beatmania]

$$r=\frac{r}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}$$

[nooonuii]

จงพิสูจน์ว่าจำนวนจริงทุกจำนวนสามารถเขียนเป็นผลบวกของจำนวนอตรรกยะสองจำนวนได้เสมอ

[Beatmania]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

จงพิสูจน์ว่าจำนวนจริงทุกจำนวนสามารถเขียนเป็นผลบวกของจำนวนอตรรกยะสองจำนวนได้เสมอ

ชอบวิธีที่สองมากกว่าวิธีแรกครับ 555

1st Solution

แยกกรณี

ถ้า $x\in\mathbb{Q}'$ แล้ว $x=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}$

และ ถ้า $x\in\mathbb{Q}$ แล้ว $x=(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}$

2nd Solution

ให้ $x\in\mathbb{R}$ เนื่องจาก $\sqrt{2}=(x-\sqrt{2})-(x-2\sqrt{2})\in\mathbb{Q}'$

ดังนั้นจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนใน $x-\sqrt{2},x-2\sqrt{2}$ ที่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่เช่นนั้นผลลบจะเป็นจำนวนตรรกยะ

ถ้า $(x-\sqrt{2})\in\mathbb{Q}'$ แล้ว $x=(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}$

ถ้า $(x-2\sqrt{2})\in\mathbb{Q}'$ แล้ว $x=(x-2\sqrt{2})+2\sqrt{2}$

[pure_mathja]

ขอบคุณครับที่ช่วยชี้แนะครับ