ตรีโกณมิติหลุดโลก ?

[gon]

สืบเนื่องจากกระทู้ โจทย์พีชคณิตมั่งดีกว่า มีคน request ปัญหาตรีโกณมิติหลุดโลกนะครับ. ผมก็เลยหยิบมาให้ตามคำขอ แต่ไม่รู้ว่าจะหลุดโลกหรือเปล่า หยิบมาให้ 5 ข้อ ครับ. ใครสนใจลองเล่นข้อไหนเชิญเลย

ขอบคุณคร๊าบบบ......ท่านพี่มังกร

[warut]

หลุดระบบสุริยะไปเลยคราวนี้ คงเป็นที่สะใจโจ๋กันถ้วนหน้า

ไม่ทำแต่ขอออกความเห็นนะครับ
ข้อ 1. ข้อนี้น่าจะทำด้วยเทคนิคที่คุณ gon เคยแนะนำมาแล้วตามเดิมมั้ง ซึ่งผมก็ยังไม่
เคยลงมือทำจริงๆเลยสักครั้ง
ข้อ 2. ข้อนี้ถ้ายอมให้ผมใช้ความรู้เกี่ยวกับค่าของ S1/n², S1/n⁴, S1/n⁶ ผมคิดว่า
ผมน่าจะทำได้นะ
ข้อ 3. เดาว่าน่าจะทำด้วยการกระจาย sin หรือ cos ของฟังก์ชันง่ายๆอะไรสักอันนึง
ออกเป็นผลคูณอนันต์โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับรากทั้งหมดของมัน แล้วเทียบกับ
Taylor's series อีกที
ข้อ 4-5 เป็นข้อที่ผมชอบมากที่สุด
ข้อ 4. ผมคิดโดยใช้ความรู้เกี่ยวกับ Euler's infinite product expansion ของ
Riemann's zeta function แต่ถ้าไม่ใช้ความรู้อันนี้ผมก็ยังไม่รู้จะทำยังไงเหมือนกัน
อ้อ...แต่ผมว่าคำตอบที่ถูกน่าจะเป็น p/ึ15 นะครับ
ข้อ 5. นึกอยู่ตั้งนานแน่ะกว่าจะจำได้ว่านี่มันมาจาก Maclaurin's series ของ
(sin^-1x)² แต่ผมก็จำไม่ได้อยู่ดีว่าพิสูจน์ยังไง

[nooonuii]

โอ...ผมว่าหลุดทางช้างเผือกไปแล้วล่ะ

[maracana]

Thanks brother gon for the "outlandish" problems.

[gon]

ครับ. คงสะใจโจ๋กันทั่วหน้า

ข้อ 2. ประมาณว่าอยากให้เล่นหา Euler zeta function กรณี s = 2, 4, 6 มาเองก่อนครับ. แล้วก็ลุย ๆ ๆ ๆ ๆ ๆ ๆ อิ อิ ผมมันบ้าคลั่ง ข้อนี้ท่าจะเล่นต้องกระดึ๊บตั้งแต่ 1/n²(n + k)² , 1/n³(n + k)³ , ... , 1/n²(n + k)⁶ ถึงกำลัง 6 นี่ผมหมดพลังตายคาที่แล้ว คือหาไว้ล่วงหน้าน่ะครับ.เผื่ออนาคตผม Solve , กรณีที่ n = 3 ออก(ฝันกลางวัน) จะได้เล่นอะไรกันต่อไปอีกทีเดียวเลยไม่ขาดตอน

ข้อ 4. ขอบคุณสำหรับคำเตือนของคุณ warut น่ะครับ. เดี๋ยวผมจะลองไปตรวจสอบดูอีกที

ข้อ 5. ประมาณว่าอยากเล่นหาค่า p สไตล์รามานุจันบ้าง แค่เศษเสี้ยวก็ยังดี แต่รู้สึกยังห่างไกลอีกล้านปีแสง

จะ request อีกก็ได้นะครับ. เดี๋ยวผมจะไปหยิบมาให้อีก

[warut]

ปีใหม่นี้ผมขอมอบเฉลยข้อ 4. ให้เป็นของขวัญกับผู้สนใจทุกท่านครับ

ผมขอเริ่มโดยให้ \(\zeta\left(s\right)\) แทน Riemann's zeta function
ในที่นี้ผมขอกล่าวถึงเฉพาะกรณีที่ s เป็นจำนวนจริงเท่านั้นนะครับ
เรานิยามให้
\[\zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\]
เมื่อ s > 1
ถ้า s = 2m เป็นจำนวนคู่ เราสามารถหาค่าของ \(\zeta\left(s\right)\) ให้ออกมาในรูปอย่างง่ายได้ดังนี้
\[\zeta\left(2m\right)=\frac{\left(-1\right)^{m-1}B_{2m}\left(2\pi\right)^{2m}}{2\left(2m\right)!}\]
เมื่อ B_2m คือ Bernoulli number ตัวที่ 2m
ดังนั้นเราจะได้ว่า \(\zeta\left(2\right)=\frac{\pi^2}{6}, \zeta\left(4\right)=\frac{\pi^4}{90},
\zeta\left(6\right)=\frac{\pi^6}{945}\) เป็นต้น

Euler พบว่า
\[\frac{1}{\zeta\left(s\right)}=\prod_{i=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p_i^s}\right) =
\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\dots\]
เมื่อ p_i แทนจำนวนเฉพาะตัวที่ i

คราวนี้กลับมาที่โจทย์ข้อ 4. ของเรากัน
เนื่องจาก \(\tan\theta_i=p_i\) เราจะได้ว่า
\[\sin\theta_i=\frac{p_i}{\sqrt{1+p_i^2}}\]
ดังนั้น
\[\prod_{i=1}^\infty\sin\theta_i=\sqrt{\prod_{i=1}^\infty\frac{p_i^2}{1+p_i^2}}\]
\[
=\sqrt{\frac{\prod_{i=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p_i^2}\right)}{\prod_{i=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p_i^4}\right)}}
\]
\[=\sqrt{\frac{6/\pi^2}{90/\pi^4}}=\frac{\pi}{\sqrt{15}}\]
โจทย์ข้อนี้ใช้ LaTeX มันจริงๆ

[TOP]

เยี่ยมไปเลย คุณ warut แสดงว่าคำตอบคือ p/ึ15 ไม่ใช่ p/ึ30 กำลังเอาใจช่วยให้มาเฉลยข้ออื่นๆต่อนะครับ