ฝึกอินทิเกรตกัน

[Suwiwat B]

$40.\int\frac{1}{x^2+2ax+b} \,dx$
$จาก x^2+2ax+b = (x^2+2ax+a^2) - (a^2-b)$
$= (x+a)^2 - (\sqrt{a^2 - b} )^2$
$= (x+a+\sqrt{a^2 - b})(x+a-\sqrt{a^2 - b})$
$ดังนั้น\frac{1}{x^2+2ax+b} = \frac{1}{(x+a+\sqrt{a^2 - b})(x+a-\sqrt{a^2 - b})}$
$=\frac{1}{2\sqrt{a^2-b}}(\frac{1}{(x+a-\sqrt{a^2 - b}}-\frac{1}{(x+a+\sqrt{a^2 - b}})$
$จะได้ว่า \int\frac{1}{x^2+2ax+b} \,dx $
$=\int\frac{1}{2\sqrt{a^2-b}} (\frac{1}{(x+a-\sqrt{a^2 - b}} - \frac{1}{(x+a+\sqrt{a^2 - b}})\,dx $
$= \frac{1}{2\sqrt{a^2-b}} \int\frac{1}{(x+a-\sqrt{a^2 - b}}-\frac{1}{(x+a+\sqrt{a^2 - b}})\,dx $
$= \frac{1}{2\sqrt{a^2-b}} [ln(x+a-\sqrt{a^2 -b}) - ln(x+a+\sqrt{a^2-b})] + C$

[Suwiwat B]

ขออนุญาตใช้เเบบสเกนนะครับ พิมพ์ Latex เมื่อกี้เหนื่อยมาก

[Suwiwat B]

ต่อจากอันก่อนนะครับ มีอะไรที่ผิดก็บอกด้วยนะครับ ไม่มั่นใจเท่าไร

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

16. $$\int e^{-x}\sin{(x+\frac{\pi}{4})} \, dx$$

\[
\int {e^{ - x} \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)dx = \int {e^{ - x} \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)} } dx = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\int {e^{ - x} \sin xdx + \int {e^{ - x} \cos xdx} } } \right)
\]
\[
= \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - e^{ - x} \cos x - \int {e^{ - x} \cos xdx} + \int {e^{ - x} \cos xdx} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}e^{ - x} \cos x + c
\]

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

7. $$\int \frac{\ln{x}}{(1+x^2)^{3/2}} \, dx$$

ให้ $x=\tan \theta$ จะได้
\[
\int {\frac{{\ln x}}{{\left( {1 + x^2 } \right)^{\frac{3}{2}} }}dx = \int {\cos \theta \ln \left( {\tan \theta } \right)d} } \theta = \sin \theta \ln \left( {\tan \theta } \right) - \int {\sec \theta d\theta }
\]
\[
= \sin \theta \ln \left( {\tan \theta } \right) - \ln \left| {\sec \theta + \tan \theta } \right| + c = \frac{{x\ln x}}{{\sqrt {x^2 + 1} }} - \ln \left| {\sqrt {x^2 + 1} + x} \right| + c
\]

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

24. $$\int \tan{\theta}\sqrt{\cos{\theta}}\ln{(\cos{\theta})} \, d\theta$$

ให้ $u = \sqrt {\cos \theta }$ จะได้
\[
\int {\tan \theta } \sqrt {\cos \theta } \ln \left( {\cos \theta } \right)d\theta = - 2\int {\ln \left( {u^2 } \right)du = - 2\left( {u\ln \left( {u^2 } \right) - 2\int {du} } \right)}
\]
\[
= - 2u\ln \left( {u^2 } \right) + 4u + c = - 2\sqrt {\cos \theta } \ln \left( {\cos \theta } \right) + 4\sqrt {\cos \theta } + c
\]

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

23. $$\int \frac{dx}{\sin{x}\sqrt{1-\cos{x}}} \, dx$$

ให้ $u = \sqrt {1 - \cos x}$ จะได้
\[
\int {\frac{{dx}}{{\sin x\sqrt {1 - \cos x} }}} = 2\int {\frac{{du}}{{1 - \left( {1 - u^2 } \right){}^2}}} = 2\int {\frac{{du}}{{u^2 \left( {2 - u^2 } \right)}} = \int {\left( {\frac{1}{{u^2 }} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {\frac{1}{{u - \sqrt 2 }} - \frac{1}{{u + \sqrt 2 }}} \right)} \right)} } du
\]
\[
= - \frac{1}{u} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{u - \sqrt 2 }}{{u + \sqrt 2 }}} \right| + c = - \frac{1}{{\sqrt {1 - \cos x} }} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt {1 - \cos x} - \sqrt 2 }}{{\sqrt {1 - \cos x} + \sqrt 2 }}} \right| + c
\]

[Suwiwat B]

33. $$\int x^5\tan^{-1}{x^2} \, dx$$


$ให้ m = x^2 แล้ว by part ได้ \frac{1}{6}arctanm - \frac{1}{6}\int\frac{m^3}{1+m^2} \,dm $

$\int\frac{m^3}{1+m^2} \,dx หาได้โดย ให้ m = tan\theta จะได้\int tan^3 \theta \, d\theta $

$ให้ cos\theta = k จะได้ = \frac{1}{2cos^2 \theta } + ln cos\theta $
$แล้วแทนกลับทุกอย่างเข้าไป$

$จะได้ \frac{1}{6}x^6 arctanx^2 - \frac{x^4 + 1}{12} - \frac{1}{6} ln\frac{1}{\sqrt{x^4 + 1} } + C $



ไม่รู้ว่าถูกไหม ดูมันเเปลกๆ ยังไงก็ช่วย Check ให้ด้วยนะครับ

[-InnoXenT-]

ทำกันเร็วจัง = =a

[Suwiwat B]

แต่ผมไม่รู้ว่าที่เเก้ไปมันถูกหรือเปล่านะครับ

[-InnoXenT-]

ถูกหมดครับ ตอนนี้ - -a

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

52. $$\int_{e^{\sqrt{2}}}^{e^2} (\ln{(\ln{x})}+\frac{1}{\ln{x}}) \, dx$$

ให้ $u = \ln x$ จะได้
\[
\int\limits_{e^{\sqrt 2 } }^{e^2 } {\left( {\ln \left( {\ln x} \right) + \frac{1}{{\ln x}}} \right)dx} = \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\left( {\ln \left( u \right) + \frac{1}{u}} \right)e^u du = } \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {e^u \ln udu + \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{e^u }}{u}du} }
\]
\[
= \left[ {e^u \ln u} \right]_{\sqrt 2 }^2 - \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{e^u }}{u}du + \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{e^u }}{u}du} } = e^2 \ln 2 - e^{\sqrt 2 } \ln \sqrt 2
\]

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

38. $$\int_{e}^{e^2} \frac{1+(\ln{x})(\ln{(\ln{x})})}{\ln{x}}\, dx$$

\[
\int\limits_e^{e^2 } {\frac{{1 + \left( {\ln x} \right)\left( {\ln \left( {\ln x} \right)} \right)}}{{\ln x}}} dx = \int\limits_e^{e^2 } {\frac{1}{{\ln x}}} dx + \int\limits_e^{e^2 } {\ln \left( {\ln x} \right)} dx = \int\limits_e^{e^2 } {\frac{1}{{\ln x}}} dx + \left[ {x\ln \left( {\ln x} \right)} \right]_e^{e^2 } - \int\limits_e^{e^2 } {\frac{1}{{\ln x}}} dx = e^2 \ln 2
\]

[-InnoXenT-]

ถูกต้องครับ เล่นกัน อยู่สองสามคน

[Tohn]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

22. $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{(2553x)}}{\sin{x}} \, dx$$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1\,dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}( 1+2\sum_{k=1}^{1276}\cos(2kx) ) \,dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sum_{k=-1276}^{1276}e^{2ikx}\,dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{(2553x)}}{\sin{x}} \, dx$$

30. $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2{x}\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}} \, dx $$

$$I= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2{x}\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2{x}\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}} \, dx $$
$$ 2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\cos{x} \, dx $$