โจทย์จากค่าย สสวท.

[devil jr.]

จงหาพหุนาม P(x) ทั้งหมด ที่ทำให้
(x^2)P((x^3+3x)/2)=(x^2+3)P(x/2)(P(x))^2

[gon]

เท่าที่ลองมั่วดูนะครับ. ถ้า P(x) เป็นพหุนามที่สอดคล้องกับ
\[x^2P(\frac{x^3+3x}{2}) = (x^2 + 3)P(\frac{x}{2})[P(x)]^2 \]
แล้วจะได้ว่า \[\bf P(x) = 0 \quad or \pm x \quad or \quad x(1+x^2)^n\]

[devil jr.]

น่าจะขาด -x(1+x^2)^n ไปตัวนึงนะครับ
ว่าแต่ คุณgonฝันพหุนามหน้าตาประหลาดอย่างนี้ออกมาได้ยังไงหรือครับ

[gon]

เท่าที่ผมลองวิเคราะห์ดู คิดว่ายังไม่สมบูรณ์ บางทีคำตอบอาจจะสมบูรณ์ในตัวแล้ว แต่ผมอาจจะวิเคราะห์ไม่ออก หรือ ผิดพลาดเอง ลองดูนะครับ.

อยากดู?กดเลย!

\[x^2P(\frac{x^3+3x}{2}) = (x^2 + 3)P(\frac{x}{2})[P(x)]^2 \]ขั้นที่ 1 : สมมติให้ \(x = 2y \, \) จัดรูปจะได้เป็น \(\displaystyle{ \frac{P(4y^3 + 3y)}{4y^3 + 3y} = \frac{P(y)}{y}[\frac{P(2y)}{2y}]^2 } \)

ขั้นที่ 2 : สมมติให้ \(Q(y) = \frac{P(y)}{y} \Rightarrow Q(4y^3 + 3y) = Q(y)[Q(2y)]^2 \quad \cdots (1) \)

กรณีที่ 1 \(Q(y) = c \Rightarrow c = c^3 \Rightarrow c = 0, \pm 1 \)

กรณีที่ 2 \(Q(y) \ne c \Rightarrow Q(y) = a_0 + a_1y + \cdots + a_ny^n \)
\( [a_0 + a_1(4y^3 + 3y) + \cdots + a_n(4y^3+3y)^n] = (a_0 + a_1y + \cdots + a_ny^n)[a_0 + a_1(2y) + \cdots + a_n(2y)^n]^2 \)

เทียบสัมประสิทธิ์ของ \( y^{3n} : 4^na_n = a_n^32^{2n} \Rightarrow a_n = \pm 1\)
\( \therefore \quad Q(y) = \pm 1(y-r_1)(y-r_2)\cdots(y-r_n) \)
\( \therefore \quad Q(0) = \pm 1 (-1)^n r_1r_2\cdots r_n = a_0 \)

เทียบสัมประสิทธิ์ของ \( y^0 : a_0 = a_0^3 \Rightarrow a_0 = 0, \pm 1\)
\(\because \quad |Q(0)| = |r_1r_2 \cdots r_n | = | a_0 | \)

กรณีที่ 2.1 : \(a_0 = \pm 1 \Rightarrow |Q(0)| = |r_1r_2 \cdots r_n | = 1 \quad \cdots (2) \)
สมมติให้ \(y = r_1 \, \)เป็นรากของสมการ \( Q(y) = 0 \, \Rightarrow Q(r_1) = 0\)
จากสมการ (1) จะได้ว่า \(Q(4r^3 + 3r) = 0 \, \) นั่นคือ \(y = 4r^3 + 3r \, \) จะเป็นรากของสมการด้วย
หรือโดยทั่วไป \(y = r_1 \Rightarrow r_{n+1} = 4r_n^3 + 3r_n \,\) จะเป็นรากของสมการ \(Q(y) = 0\) ด้วย ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะจะได้รากเป็นจำนวนอนันต์ตัว

นอกจากนี้ ถ้าสมมติให้ \(|r_1| = |r| > 1 \) โดยอสมการสามเหลี่ยม \(|a + b| \geq |a| - |b| \)จะได้ว่า
\( |4r^3 + 3r| \geq | 4r^3 | - |3r| = |4r^2| - 3 > 1 \, \) เกิดข้อขัดแย้งกับ (2) ขึ้น

กรณีที่เป็นไปได้ คือ ค่าสัมบูรณ์ของทุกราก มีค่าเป็น 1 เช่น
\( |r_1| = 1 \Rightarrow |r_2| = |4r_1^3 + 3r_1| \Rightarrow 1 = |4r_1^2 + 3| \iff r_1^2 = -1 \, , (r_1^2 = -\frac{1}{2}) \,\) ใช้ไม่ได้ เพราะ \( \, |r_1| = \frac{1}{\sqrt{2}} \ne 1 \)

ในทำนองเดียวกัน ก็จะได้ว่า \(r_i^2 = -1 \, , \quad i = 1, 2, \cdots , n \)
นั่นคือ \(Q(y) = \pm (y^2 + 1)^n \)

กรณีที่ 2 : \(a_0 = 0 \, \) แสดงว่าจะต้องมี \(\, r_i \, \) บางตัวที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นจะได้ว่า ทุก \(\, r_i = 0 \, \Rightarrow Q(y) = \pm y^n\)

แต่เมื่อแทนลงใน (1) จะพบว่าไม่จริง

นั่นคือ \(Q(y) = 0, \, \pm 1, \, \pm (y^2 + 1)^n \, \Rightarrow P(y) = yQ(y) = 0, \, \pm y \, , \pm y(y^2 + 1)^n \,\) ซึ่งเมื่อแทนค่าจะพบว่าจริง

[reve]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

เท่าที่ผมลองวิเคราะห์ดู คิดว่ายังไม่สมบูรณ์ บางทีคำตอบอาจจะสมบูรณ์ในตัวแล้ว แต่ผมอาจจะวิเคราะห์ไม่ออก หรือ ผิดพลาดเอง ลองดูนะครับ.

hidden=อยากดู?กดเลย!

\[x^2P(\frac{x^3+3x}{2}) = (x^2 + 3)P(\frac{x}{2})[P(x)]^2 \]ขั้นที่ 1 : สมมติให้ \(x = 2y \, \) จัดรูปจะได้เป็น \(\displaystyle{ \frac{P(4y^3 + 3y)}{4y^3 + 3y} = \frac{P(y)}{y}[\frac{P(2y)}{2y}]^2 } \)

ขั้นที่ 2 : สมมติให้ \(Q(y) = \frac{P(y)}{y} \Rightarrow Q(4y^3 + 3y) = Q(y)[Q(2y)]^2 \quad \cdots (1) \)

กรณีที่ 1 \(Q(y) = c \Rightarrow c = c^3 \Rightarrow c = 0, \pm 1 \)

กรณีที่ 2 \(Q(y) \ne c \Rightarrow Q(y) = a_0 + a_1y + \cdots + a_ny^n \)
\( [a_0 + a_1(4y^3 + 3y) + \cdots + a_n(4y^3+3y)^n] = (a_0 + a_1y + \cdots + a_ny^n)[a_0 + a_1(2y) + \cdots + a_n(2y)^n]^2 \)

เทียบสัมประสิทธิ์ของ \( y^{3n} : 4^na_n = a_n^32^{2n} \Rightarrow a_n = \pm 1\)
\( \therefore \quad Q(y) = \pm 1(y-r_1)(y-r_2)\cdots(y-r_n) \)
\( \therefore \quad Q(0) = \pm 1 (-1)^n r_1r_2\cdots r_n = a_0 \)

เทียบสัมประสิทธิ์ของ \( y^0 : a_0 = a_0^3 \Rightarrow a_0 = 0, \pm 1\)
\(\because \quad |Q(0)| = |r_1r_2 \cdots r_n | = | a_0 | \)

กรณีที่ 2.1 : \(a_0 = \pm 1 \Rightarrow |Q(0)| = |r_1r_2 \cdots r_n | = 1 \quad \cdots (2) \)
สมมติให้ \(y = r_1 \, \)เป็นรากของสมการ \( Q(y) = 0 \, \Rightarrow Q(r_1) = 0\)
จากสมการ (1) จะได้ว่า \(Q(4r^3 + 3r) = 0 \, \) นั่นคือ \(y = 4r^3 + 3r \, \) จะเป็นรากของสมการด้วย
หรือโดยทั่วไป \(y = r_1 \Rightarrow r_{n+1} = 4r_n^3 + 3r_n \,\) จะเป็นรากของสมการ \(Q(y) = 0\) ด้วย ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะจะได้รากเป็นจำนวนอนันต์ตัว

นอกจากนี้ ถ้าสมมติให้ \(|r_1| = |r| > 1 \) โดยอสมการสามเหลี่ยม \(|a + b| \geq |a| - |b| \)จะได้ว่า
\( |4r^3 + 3r| \geq | 4r^3 | - |3r| = |4r^2| - 3 > 1 \, \) เกิดข้อขัดแย้งกับ (2) ขึ้น

กรณีที่เป็นไปได้ คือ ค่าสัมบูรณ์ของทุกราก มีค่าเป็น 1 เช่น
\( |r_1| = 1 \Rightarrow |r_2| = |4r_1^3 + 3r_1| \Rightarrow 1 = |4r_1^2 + 3| \iff r_1^2 = -1 \, , (r_1^2 = -\frac{1}{2}) \,\) ใช้ไม่ได้ เพราะ \( \, |r_1| = \frac{1}{\sqrt{2}} \ne 1 \)

ในทำนองเดียวกัน ก็จะได้ว่า \(r_i^2 = -1 \, , \quad i = 1, 2, \cdots , n \)
นั่นคือ \(Q(y) = \pm (y^2 + 1)^n \)

กรณีที่ 2 : \(a_0 = 0 \, \) แสดงว่าจะต้องมี \(\, r_i \, \) บางตัวที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นจะได้ว่า ทุก \(\, r_i = 0 \, \Rightarrow Q(y) = \pm y^n\)

แต่เมื่อแทนลงใน (1) จะพบว่าไม่จริง

นั่นคือ \(Q(y) = 0, \, \pm 1, \, \pm (y^2 + 1)^n \, \Rightarrow P(y) = yQ(y) = 0, \, \pm y \, , \pm y(y^2 + 1)^n \,\) ซึ่งเมื่อแทนค่าจะพบว่าจริง

แล้วถ้า $r_1=r_k , k>1$ หรือ $r_i=r_j , i,j>1$ จะเป็นยังไงครับ