โจทย สอวน.2549

[jabza]

ให้x>y 1/(x+y)+1/(x-y)=1/3จงหา x^2+y^2=? x,yเปนจำนวนเตมบวก

[Mathophile]

Hint : พิจารณา $\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{3}}$ โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ b = ...???...
แต่ b เป็นจำนวนเต็มบวก ฉะนั้น...???

[หยินหยาง]

ขอตอบว่า $X = 8 ,Y = 4$ ,จะได้ว่า $X^2 +Y^2 =80$

[faliona]

อธิบายหน่อยดิ

[Lนียร์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

Hint : พิจารณา $\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{3}}$ โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ b = ...???...
แต่ b เป็นจำนวนเต็มบวก ฉะนั้น...???

ยังทำไม่ได้อยู่ดีอ่ะครับ

[M@gpie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

Hint : พิจารณา $\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{3}}$ โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ b = ...???...
แต่ b เป็นจำนวนเต็มบวก ฉะนั้น...???

ฉะนั้น $a$ หรือ $b$ ต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ 6 ก็แยก 2 กรณี ไล่คิดไปครับ แว่บนึงก็จะได้ว่า $a=12,b=4$ หรือ $a=4,b=12$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

Hint : พิจารณา $\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{3}}$ โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ b = ...???...
แต่ b เป็นจำนวนเต็มบวก ฉะนั้น...???

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lนียร์

ยังทำไม่ได้อยู่ดีอ่ะครับ

ลองดูวิธีนี้ เผื่อจะช่วยให้เข้าใจขึ้น
$\frac{1}{n}+ \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} = \frac{1}{n-1}$
$ \frac{1}{n} + \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1}$
นำไปปรับใช้กับโจทย์ที่ถาม จะพบว่า n-1 = 3 ดังนั้น n=4 และ n(n-1) =4*3 =12 หรือเขียนได้ว่า
$ \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$

[faliona]

ขอบคุณ คุณหยินหยางมากคะ

[Mathophile]

ขอเสนออีกแนวคิดละกันนะครับ
จาก hint คือให้ $a=x-y,b=x+y$ (หรือสลับกันก็ได้ครับ) ดังนั้น $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกด้วย และ $a<b$
จัดรูปจาก $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{3}$ จะได้ $b=\frac{3a}{a-3}$
แสดงว่า $a-3$ หาร $3a$ ลงตัว แล้วก็ใช้เทคนิคนิดหน่อยว่า $a-3$ หาร $3(a-3)=3a-9$ ฉะนั้น $a-3$ ก็ต้องหาร 9 ลงตัว
ทีนี้จำนวนเต็มที่หาร 9 ลงตัวคือ 1,-1,3,-3,9,-9
นั่นก็คือ $a-3=1,-1,3,-3,9,-9$ นั่นคือ $a=4,2,6,0,12,-6$
แต่ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก ฉะนั้น $a=2,4,6,12$
จาก $b=\frac{3a}{a-3}$ แทนค่ากลับก็จะได้ $b=-6,12,6,4$
แต่ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ a<b ฉะนั้นมีเพียงกรณีเดียวที่ใช้ได้คือ $a=4,b=12$
จากนั้นแก้สมการอีกหน่อยครับว่า $a=x-y,b=x+y$ ก็จะได้ค่า $x,y$ ออกมาครับ