ขอใช้พื้นที่เพื่อใช้ทำแบบฝึกหัดครับ

[gnopy]

ขอใช้พื้นที่สำหรับอินทิเกรตครับ เพื่อนๆพี่ๆน้องๆในบอร์ดนี้สามารถช่วยทำได้นะครับ

http://www.tempf.com/getfile.php?fil...pplication/pdf
ข้อ1)

$\int_{}^{}\frac{dx}{(x^2+4x+13)}dx$ = $\int_{}^{}\frac{dx}{(x+2)+3^2}dx$

จากสูตร $\int_{}^{}\frac{du}{(u^2+b^2)}$dx=$\frac{1}{b}$arctan($\frac{u}{(b)}$)

$\int_{}^{}\frac{dx}{(x+2)+3^2}dx$ =$\frac{1}{3}$arctan($\frac{x+2}{3})$+C

ข้อ2)

$\int_{}^{}\frac{e^x+e^{-x}}{e^x- e^{-x}}dx$

ให้ u = e$^x$- e$^-x$ du = ($e^x$+$e^-x$)dx e ยกกำลัง -x นะครับ ดังนั้น

$\int_{}^{}\frac{e^x+e^-x}{e^x- e^-x}dx$

= $\int_{}^{}\frac{e^x+e^-x}{u}$ $\frac{dx}{e^x- e^-x}$

= $\int_{}^{}\frac{1}{u}$du =ln|u|+C
เพราะฉะนั้น

$\int_{}^{}\frac{e^x+e^-x}{e^x- e^-x}dx$ = ln|$e^x- e^-x$|+C

ข้อ 7)
$\int_{}^{}secxtan^2xdx$
จาก $sec^2x-1 =tan^2x$
$\int_{}^{}secxtan^2xdx$
=$\int_{}^{}secx(sec^2x-1)dx$
= $\int_{}^{}sec^3xdx$ - $\int_{}^{}secxdx$

$\int_{}^{}secxdx$=$ln|secx+tanx|+C1$..................(1)
หา $\int_{}^{}sec^3xdx$ ว้าวๆๆๆๆ ต้อง ใช้ Bypart จำไว้นะ ถ้า sec หรือ csc กำลังคี่ ลองใช้ Bypartดู

$\int_{}^{}sec^3xdx$ = $\int_{}^{}secxd(tanx)$ ขออธิบายนิดนึงอันนี้เขียนลัดๆเลย เพราะว่า
d(tanx)=sec$^2$xdx จะเห็นว่า v ของเราคือ tanx
จากสูตร $\int_{}^{}udv$=$uv-\int_{}^{}vdu$
=$secxtanx$-$\int_{}^{}tanxsec^2xdx$ แทนลงไปใน(1)
จะได้
$\int_{}^{}secxtan^2xdx$=$secxtanx$-$ln|secx+tanx|$-$\int_{}^{}tanxsec^2xdx$+C
บวก $\int_{}^{}secxtan^2xdx$ เข้าทั้งสองข้างจะได้
2$\int_{}^{}secxtan^2xdx$ =$secxtanx$ - $ln|secx+tanx|$

ดังนั้น $\int_{}^{}secxtan^2xdx$ =$\frac{1}{2}(secxtanx - ln|secx+tanx|)$+C

[gnopy]

เทคนิคการอินทิเกรตฉบับ gnopy

ปล. สำหรับผู้เริ่มต้นนะครับ อาจจะผิดหลักคณิตศาสตร์ไปบ้าง ขออภัยพี่ๆในบอร์ดนี้ด้วยนะครับ
การอินทิเกรต ส่วนมากเราจะเห็นฟังก์ชันที่จะอินทิเกรตไม่สามารถที่จะ อินทิเกรตได้โดยตรงตามสูตรพื้นฐานที่มีไว้ให้ พูดง่ายๆคือเราจะต้องจัดรูปฟังก์ชันให้เหมาะสม โดยใช้วิธีการต่างๆดังนี้
1.แทนค่าด้วยตัวแปรที่เหมาะสม หรืออาจจะเป็นแทนค่าดัวยฟังก์ชันตรีโกณมิติก็ได้
2.ถ้าเป็นแบบเศษส่วนย่อย ก็จะมีวิธีการอินทิเกรตอยู่
3.การ
$\quad$เรื่องแรกที่จะเขียนคือ เทคนิคการแทนฟังก์ชันด้วยตัวแปรที่เหมาะสม ที่เห็นบ่อยๆก็คือตัวแปร u นั่นแหละครับ เอาหละไม่พูดพร่ำทำเพลงกันแล้ว ไปดูกันเลย

Ex1). $\quad$ $\int_{}^{}e^{x+e^x}dx$ = $\int_{}^{}e^xe^{e^x}$dx

ให้ $\quad$ $u = e^x$ $\quad$จะได้ $du = e^x$dx แทนค่าต่างๆลงไป

$\int_{}^{}e^xe^{e^x}dx$ =$\int_{}^{}e^xe^u\frac{du}{e^x}$ = $\int_{}^{}e^udu$ = $e^{e^x}$+C

Ex1).$\quad$ $\int_{}^{}\frac{1}{e^x+1}$dx

จะเห็นว่า ถ้าเลือก u=1+$e^x$ เราไม่มี $e^x$dx อยู่ ดังนั้นต้องจัดรูปก่อน
$\frac{1}{e^x+1}$ = 1- $\frac{e^x}{e^x+1}$

$\int_{}^{}\frac{1}{e^x+1}$dx

=$\int_{}^{}(1-\frac{e^x}{e^x+1})$dx=x-$\int_{}^{}\frac{e^x}{e^x+1}$dx

=x- $\int_{}^{}\frac{e^x}{e^x+1}\frac{d(e^x+1)}{e^x}$

=x-ln|$e^x+1$|+C

มาเฉลยกันต่อดีกว่า
ข้อ 4 ใช้การอินทิเกรตแบบ เศษส่วนย่อยธรรมดา

ข้อ 5 $\int_{}^{}sin^2xcos^4x$dx =$\int_{}^{}sin^2xcos^2xcos^2x$dx
=$\frac{1}{4}\int_{}^{}sin^2(2x)(1+cos(2x))$dx
=$\frac{1}{4}(\int_{}^{}\frac{1-cos4x}{2}dx + \int_{}^{}sin^22xcos2x$dx
แค่นี้ก็ทำการอินทิเกรตต่อไม่ยากแล้ว
เอาไว้เด๋วว่างๆจะมาแปะอีก หมดเวลาแร้วน้า

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnopy

ข้อ1)

$\int_{}^{}\frac{dx}{(x^2+4x+13)}dx$ = $\int_{}^{}\frac{dx}{(x+2)+3^2}dx$

จากสูตร $\int_{}^{}\frac{du}{(u^2+b^2)}$dx=barctan($\frac{u}{(b)}$)

$\int_{}^{}\frac{dx}{(x+2)+3^2}dx$ =3arctan($\frac{x+2}{3})$+C

ผมว่าสูตรควรเป็น \[
\int {\frac{{du}}{{u^2 + b^2 }} = \frac{1}{b}\arctan \frac{u}{b} + c}
\]

ข้อ1)
\[
\int {\frac{{dx}}{{x^2 + 4x + 13}} = \int {\frac{{dx}}{{\left( {x + 2} \right)^2 + 3^2 }} = } } \int {\frac{{d\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)^2 + 3^2 }} = \frac{1}{3}\arctan \left( {\frac{{x + 2}}{3}} \right) + c}
\]

[gnopy]

thank kung V.Ratanapong cuz your fomular is true
i can't type thai Arrrrrr

[gnopy]

$\int_{}^{}\frac{1}{e^{3x}+3}$dx

วิธีแรก เอาแทนค่าตัวแปรธรรมดา ก็ออกนะ
$\int_{}^{}\frac{1}{e^{3x}+1}\frac{d(e^{3x}+1)}{3e^{3x}}$
ให้ u =$e^{3x}$+3
จะได้ u-3=$e^{3x}$
$\int_{}^{}\frac{1}{e^{3x}+1}\frac{d(e^{3x}+1)}{3e^{3x}}$=$\int_{}^{}\frac{1}{3(u)(u-3)}$du
ก็ใช้ partial ธรรมดาก็ออกแล้วครับ